Exponentiële-groeicalculator
Kies discrete groei, A = P(1 + r)^t, of continue groei, A = Pe^(rt), groei of afname, en los op voor een van het eindbedrag, het beginbedrag, het percentage of de tijd. Je krijgt ook de verdubbelingstijd of halveringstijd, een vergelijking met de regels van 72, 70 en 69,3, hetzelfde percentage in beide vormen, een tabel met waarden en een grafiek. Gratis, zonder registratie.
Wordt alleen als label gebruikt, bijvoorbeeld jaren, dagen of uren.
Resultaten
1.628,8946
Eindbedrag (A)
1,05
Factor per perioden
+62,89%
Totale verandering
5% per perioden
Als discreet percentage
4,879% per perioden
Als continu percentage
14,2067 perioden
Verdubbelingstijd
De berekening
Herschrijf de formule voor de onbekende.
A = P × (1 + r)^t
Vul de getallen in.
A = 1.000 × (1 + 0,05)^10 = 1.000 × 1,628895 = 1.628,8946
De groeifactor voor één periode is 1,05.
1 + 0,05 = 1,05
Regel van 72, 70 en 69,3
De regels schatten de verdubbel- of halveringstijd als een constante gedeeld door het percentage. Elk is een benadering; de exacte tijd is ln 2 gedeeld door de ln van de factor.
| Methode | Tijd (perioden) | Verschil met exact |
|---|---|---|
| Exact | 14,2067 | — |
| Regel van 72: 72 / percentage | 14,4 | +1,36% |
| Regel van 70: 70 / percentage | 14 | -1,45% |
| Regel van 69,3: 69,3 / percentage | 13,86 | -2,44% |
Tabel met waarden
| Tijd (perioden) | Bedrag | Verandering ten opzichte van start |
|---|---|---|
| 0 | 1.000 | 0% |
| 1 | 1.050 | +5% |
| 2 | 1.102,5 | +10,25% |
| 3 | 1.157,625 | +15,76% |
| 4 | 1.215,5063 | +21,55% |
| 5 | 1.276,2816 | +27,63% |
| 6 | 1.340,0956 | +34,01% |
| 7 | 1.407,1004 | +40,71% |
| 8 | 1.477,4554 | +47,75% |
| 9 | 1.551,3282 | +55,13% |
| 10 | 1.628,8946 | +62,89% |
Grafiek
- A(t)
Zo gebruik je de exponentiële-groeicalculator
- 1. Kies het model. Gebruik discreet als de hoeveelheid per periode met een vast percentage groeit; gebruik continu als ze groeit met e tot de macht (percentage × tijd).
- 2. Kies groei of afname en wat je wilt berekenen. Het veld voor de onbekende is verborgen. Vul het percentage in als positief percentage: 5 betekent 5%, en de keuze Groei of Afname bepaalt het teken.
- 3. Vul de andere drie waarden in. De tijdseenheid is alleen een label, dus jaren, dagen of uren werken allemaal.
- 4. Lees de resultaten. De berekende waarde komt eerst, gevolgd door de groeifactor, de verdubbelings- of halveringstijd, de vuistregels, een tabel met waarden en een grafiek.
De twee modellen
| Model | Formule | Percentage betekent | Verdubbelingstijd |
|---|---|---|---|
| Discreet | A = P(1 + r)^t | r is de relatieve verandering per periode; gebruik 1 − r voor afname | ln 2 / ln(1 + r) |
| Continu | A = Pe^(rt) | r is de momentane snelheid; gebruik −r voor afname | ln 2 / r |
P is het beginbedrag, A het bedrag na tijd t, en r het percentage. De twee modellen beschrijven dezelfde curve wanneer de percentages met elkaar samenhangen: een discreet percentage r is gelijk aan een continu percentage k = ln(1 + r), en k is gelijk aan een discreet percentage e^k − 1. Steeds vaker samengestelde rente tegen hetzelfde nominale percentage geeft in de limiet het continue model. De calculator toont jouw percentage in beide vormen.
Uitgewerkte voorbeelden
| Probleem | Berekening | Resultaat |
|---|---|---|
| 1.000 die 5% per periode groeit, gedurende 10 periodes | 1000 × 1,05¹⁰ | 1.628,8946 |
| Hetzelfde, maar continu | 1000 × e^(0,05 × 10) | 1.648,7213 |
| 1.000 die 10% per periode afneemt, gedurende 3 periodes | 1000 × 0,9³ | 729 |
| Tijd voor 1.000 om 2.000 te bereiken bij 8% per periode | ln 2 / ln 1,08 | 9,0065 periodes |
| Percentage voor 1.500 om in 8 periodes 2.400 te bereiken | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6,0511% per periode |
Om de tijd of het percentage op te lossen, herschrijf je met logaritmen of wortels: t = ln(A / P) / ln(1 + r) en r = (A / P)^(1/t) − 1. De calculator schrijft de herschreven formule en jouw getallen op aparte regels.
Verdubbelingstijd, halveringstijd en de regel van 72
Bij groei is de verdubbelingstijd hoelang het duurt voordat het bedrag verdubbelt; bij afname is de halveringstijd hoelang het duurt voordat het bedrag halveert. Beide hangen alleen af van het percentage, niet van het beginbedrag. De regel van 72 schat de verdubbelingstijd als 72 gedeeld door het percentage. Hij is populair omdat 72 deelbaar is door 2, 3, 4, 6, 8, 9 en 12, en hij is het nauwkeurigst voor discrete percentages rond 8%, ongeveer 6% tot 10%. De regel van 70 past beter bij lagere percentages, zoals inflatie rond 2%, en 69,3 is de natuurlijke keuze voor continue groei omdat ln 2 ≈ 0,693.
| Geval | Exact | Regel van 72 | Regel van 70 | Regel van 69,3 |
|---|---|---|---|---|
| Discreet, 8% | 9,0065 | 9 (−0,07%) | 8,75 (−2,85%) | 8,6625 (−3,82%) |
| Discreet, 5% | 14,2067 | 14,4 (+1,36%) | 14 (−1,45%) | 13,86 (−2,44%) |
| Continu, 5% | 13,8629 | 14,4 (+3,87%) | 14 (+0,99%) | 13,86 (−0,02%) |
Gebruik de regels als hoofdrekenen
De regels zijn snelle schattingen, geen vervanging van de logaritmeformule. Ze wijken af bij hoge percentages, en bij afname nog meer, dus gebruik de exacte tijd wanneer het ertoe doet.
Veelgemaakte fouten
- 0,05 typen voor 5%. Het percentageveld verwacht een percentage, dus vul 5 in. Vul je 0,05 in, dan betekent dat 0,05%.
- 1 + r gebruiken voor afname. Een afname van 10% per periode vermenigvuldigt met 0,9, niet met 1,1. Kies Afname en de calculator gebruikt 1 − r.
- Eenheden van percentage en tijd door elkaar halen. Een percentage van 5% per jaar vraagt om tijd in jaren; 5% per maand vraagt om maanden.
- Discrete en continue percentages gelijkstellen. 5% discreet is ongeveer 4,879% continu, dus de twee modellen geven een ander bedrag voor hetzelfde getal.
- Verwachten dat een nul- of negatief beginbedrag werkt. Het model heeft een positief beginbedrag en een positief eindbedrag nodig, omdat logaritmen alleen voor positieve getallen zijn gedefinieerd.
Veelgestelde vragen
- Wat is de formule voor exponentiële groei?
- Voor groei met een vast percentage per periode is het A = P(1 + r)^t, waarbij P het beginbedrag is, r het percentage per periode als decimaal, en t het aantal periodes. Voor continue groei is het A = Pe^(rt). Afname gebruikt een negatief percentage, dus een afname van 10% per periode vermenigvuldigt met 0,9.
- Hoe bereken ik de verdubbelingstijd?
- Voor discrete groei is de exacte verdubbelingstijd ln 2 / ln(1 + r); voor continue groei is het ln 2 / r. Bij 8% per periode is dat 9,0065 periodes. De regel van 72 geeft een goede schatting: 72 gedeeld door het percentage.
- Hoe nauwkeurig is de regel van 72?
- Hij is het nauwkeurigst voor percentages rond 8%, en goed vanaf ongeveer 6% tot 10%. Bij 5% zit hij 1,4% te hoog voor discrete groei. Voor continue groei is de regel van 69,3 bijna exact, en de regel van 70 is beter dan 72 bij lage percentages.
- Wat is het verschil tussen discrete en continue groei?
- Discrete groei past het percentage eenmaal per periode toe, dus 5% per jaar vermenigvuldigt elk jaar met 1,05. Continue groei past het op elk moment toe, wat de limiet is van steeds vaker samengestelde rente, en vermenigvuldigt elk jaar met e^0,05 ≈ 1,0513. Een discreet percentage r is gelijk aan een continu percentage ln(1 + r).
- Hoe vind ik het groeipercentage uit twee waarden?
- Kies Percentage als onbekende en vul het beginbedrag, het eindbedrag en de tijd in. Voor discrete groei is r = (A / P)^(1/t) − 1; groeien van 1.500 naar 2.400 in 8 periodes is bijvoorbeeld 6,0511% per periode. Een negatief resultaat betekent dat het bedrag daalt.
- Hoe bereken ik de halveringstijd?
- De halveringstijd is de tijd waarin het bedrag halveert: ln 2 gedeeld door de grootte van het continue afnamepercentage, of ln 2 / −ln(1 − r) voor een discrete afname van r per periode. Kies Afname en vul het percentage in om het te zien.
- Kan ik dit gebruiken voor samengestelde rente of bevolkingsgroei?
- Ja: beide zijn exponentiële groei met een vast percentage per periode. Voor rente met periodieke stortingen, of met samenstelling meerdere keren per periode, is de Calculator voor samengestelde rente de betere keuze. Echte populaties stoppen uiteindelijk met exponentieel groeien, dus gebruik het resultaat als model en niet als voorspelling.