Cirkelcalculator
Voer één van de straal, diameter, omtrek of oppervlakte van een cirkel in en krijg de andere drie — exact uitgedrukt in π, met de decimale waarde en elke stap. Voeg daarna een middelpuntshoek toe om de booglengte, de oppervlakte van de sector, de koorde, het cirkelsegment en de segmenthoogte te vinden, met een gelabelde figuur. Gratis, zonder registratie; het draait in je browser.
Gehele getallen, decimale getallen en breuken zoals 3/4. Omtrek en oppervlakte mogen als veelvoud van π worden ingevoerd, zoals 10π, zodat het antwoord exact blijft.
Resultaten
| Maat | Exact | Decimaal |
|---|---|---|
| Straal (r) | 5 cm | 5 cm |
| Diameter (d) | 10 cm | 10 cm |
| Omtrek (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Oppervlakte (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
De uitwerking
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Boog, sector, koorde en segment
Deze gebruiken de straal hierboven.
| Maat | Exact | Decimaal |
|---|---|---|
| Booglengte (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Oppervlakte van de sector | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Lengte van de koorde (c) | 5 cm | 5 cm |
| Oppervlakte van het segment | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Hoogte van het segment (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Omtrek van de sector | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Omtrek van het segment | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Uitwerking voor de hoek
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Figuur
Zo gebruik je de cirkelcalculator
- 1. Vertel wat je weet. Kies straal, diameter, omtrek of oppervlakte en typ de waarde. Gehele getallen, decimale getallen en breuken zoals 3/4 worden exact gelezen.
- 2. Houd het exact met π. Een omtrek of oppervlakte kun je invoeren als veelvoud van π, zoals 10π of 25π, en dan komt de straal als een zuiver getal uit. Ingevoerd als gewoon getal geeft een omtrek van 10 de straal r = 5/π.
- 3. Lees de vier maten af. Straal, diameter, omtrek en oppervlakte verschijnen in exacte vorm en als decimale getallen, afgerond op het aantal decimalen dat je kiest, met de uitwerking eronder.
- 4. Voeg een middelpuntshoek toe. Typ die in graden, of in radialen als veelvoud van π, zoals pi/3. Daarna volgen de boog, sector, koorde, het segment en de sagitta, getekend op een gelabelde cirkel.
Cirkelformules
| Bereken | Formule | Opmerkingen |
|---|---|---|
| Diameter | d = 2r | Twee keer de straal |
| Omtrek | C = 2πr = πd | De afstand rondom |
| Oppervlakte | A = πr² | Het oppervlak binnen de cirkel |
| Straal uit omtrek | r = C / (2π) | Herschreven uit C = 2πr |
| Straal uit oppervlakte | r = √(A / π) | Herschreven uit A = πr² |
| Oppervlakte uit omtrek | A = C² / (4π) | Vervangt r = C / (2π) |
Het getal π is de verhouding tussen de omtrek van elke cirkel en zijn diameter, ongeveer 3,14159. Het is irrationeel, dus het exacte antwoord op de meeste cirkelvraagstukken bevat π — 25π in plaats van 78,5398… — en wordt pas aan het eind afgerond.
Boog, sector, koorde en segment
Een middelpuntshoek θ verdeelt de cirkel in stukken. Meet θ in radialen (180° = π radialen) voor de eenvoudigste formules.
| Onderdeel | Formule | Wat het is |
|---|---|---|
| Booglengte | s = r × θ | De gebogen rand tussen de twee stralen |
| Oppervlakte van de sector | ½ × r² × θ | De taart van het middelpunt tot de boog |
| Koorde | c = 2r × sin(θ / 2) | De rechte lijn tussen de uiteinden van de boog |
| Oppervlakte van het segment | ½ × r² × (θ − sin θ) | Het gebied tussen de koorde en de boog |
| Sagitta (pijlhoogte) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | De hoogte van het segment |
Het segment is de sector min de driehoek die de twee stralen en de koorde vormen, waarvan de oppervlakte ½r² sin θ is — daar komt θ − sin θ vandaan. Voor θ boven 180° gelden de formules nog steeds: het ‘segment’ is dan het grotere stuk en de sagitta is groter dan de straal.
Uitgewerkte voorbeelden
- Vanuit de straal. r = 5 geeft d = 10, C = 10π ≈ 31,42 en A = 25π ≈ 78,54.
- Vanuit een omtrek. C = 10 geeft r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59, en A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Ingevoerd als 10π heeft dezelfde cirkel r = 5.
- Een sector van 60° met straal 3. θ = π/3, dus de boog is π ≈ 3,14, de sector is 3π/2 ≈ 4,71 en de koorde is 2 × 3 × sin 30° = 3 — gelijk aan de straal, omdat de driehoek gelijkzijdig is.
- Het segment bij die sector. Oppervlakte van het segment = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, en de sagitta is 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Exacte koorden en segmenten verschijnen wanneer sin(θ/2) en sin θ een gesloten vorm hebben — dat wil zeggen voor hoeken die veelvouden zijn van respectievelijk 30° en 15°. Voor andere hoeken, zoals 50°, zijn de boog en de sector nog steeds exact, maar worden de koorde en het segment als decimale getallen gegeven.
Veelgemaakte fouten
- De diameter gebruiken in een formule die de straal nodig heeft: A = πr², niet πd².
- Met graden rekenen in s = rθ of ½r²θ, die radialen nodig hebben; de calculator rekent voor je om.
- De sector (een taart die tot het middelpunt reikt) verwarren met het segment (het stuk dat door een koorde wordt afgesneden).
- π te vroeg afronden op 3,14: het exacte antwoord 25π en het decimale getal 78,54 verschillen ongeveer 0,04.
Veelgestelde vragen
- Hoe bereken je de oppervlakte van een cirkel uit de omtrek?
- Bereken eerst de straal, r = C / (2π), en gebruik daarna A = πr². Gecombineerd geeft dat A = C² / (4π). Een omtrek van 10 geeft een oppervlakte van 100 / (4π) = 25/π, ongeveer 7,96.
- Wat is het verschil tussen straal en diameter?
- De straal loopt van het middelpunt naar de rand; de diameter loopt helemaal over de cirkel, door het middelpunt, dus d = 2r. Oppervlaktformules gebruiken de straal, terwijl C = πd de diameter gebruikt.
- Hoe bereken je de booglengte van een cirkel?
- Vermenigvuldig de straal met de middelpuntshoek in radialen: s = rθ. Is de hoek in graden, neem dan het deel van een volledige draai: s = (θ / 360°) × 2πr. Een boog van 60° van een cirkel met straal 3 is π lang.
- Wat is het verschil tussen een sector en een segment?
- Een sector is het stuk dat wordt begrensd door twee stralen en de boog, zoals een punt taart. Een segment is het gebied tussen een koorde en de boog die ze afsnijdt. Het segment is de sector min de driehoek die de twee stralen en de koorde vormen.
- Hoe bereken je de lengte van een koorde?
- c = 2r × sin(θ / 2), waarbij θ de middelpuntshoek is. Ken je in plaats daarvan de afstand d van de koorde tot het middelpunt, dan is c = 2√(r² − d²), volgens de stelling van Pythagoras. Een koorde van 180° is een diameter.
- Wat is de sagitta van een cirkelsegment?
- De sagitta is de hoogte van het segment: de afstand van het midden van de koorde tot het midden van de boog, h = r × (1 − cos(θ / 2)). Het is de ‘bolling’ van een boog of een lens.
- Waarom toont de calculator π in plaats van een decimaal getal?
- Omdat π irrationeel is, is elk decimaal getal een benadering, en het verbergt bovendien de structuur van het antwoord. Met 25π blijft het resultaat exact voor verder rekenwerk; de decimale waarde staat ernaast voor als je een getal nodig hebt om mee te meten.