Calculator voor Gemiddelde Veranderingssnelheid
Voer een functie of een tabel met gegevens en twee x-waarden in en krijg de gemiddelde veranderingssnelheid ertussen — de helling van de secantlijn — met Δy en Δx, de vergelijking van de secantlijn, een zin in gewone taal met je eenheden (meter per seconde, euro per jaar), een tabel die laat zien hoe de snelheid nadert tot de momentane veranderingssnelheid naarmate het interval kleiner wordt, en het punt uit de middelwaardestelling. Gratis, zonder registratie.
Gebruik + − * / ^ en haakjes. Functies: sin, cos, tan, exp, ln, log (grondtal 10), sqrt, abs en meer. Constanten: pi en e.
Een getal of constante, zoals 1 of −2,5 of pi/2.
Resultaten
4
Gemiddelde veranderingssnelheid
8
Verandering in y, Δy
2
Verandering in x, Δx
1
y aan het begin
9
y aan het eind
Wat het betekent
Van x = 1 tot x = 3 verandert y neemt toe met 8 terwijl x verandert met 2: gemiddeld 4 per eenheid van x.
Secantlijn
De gemiddelde veranderingssnelheid is de helling van de secantlijn door (a, f(a)) en (b, f(b)).
Het interval verkleinen
| h | Interval | Gemiddelde snelheid |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
De gemiddelde veranderingssnelheid over [a, a + h] nadert f′(1) = 2 als h → 0.
Middelwaardestelling
Er is een punt c tussen a en b waar de momentane veranderingssnelheid f′(c) gelijk is aan deze gemiddelde veranderingssnelheid: c ≈ 2.
Grafiek
- y = f(x)
- Secantlijn (helling 4)
- Raaklijn evenwijdig aan de secant in c
Zo gebruik je de calculator voor gemiddelde veranderingssnelheid
- 1. Kies functie of tabel. Typ voor een functie f(x), zoals
x^2ofsin(x). Voor gegevens plak je één “x; y”-paar per regel; de x-waarden mogen in elke volgorde staan. - 2. Voer het interval in. Geef het begin a en het einde b. Bij een tabel moeten beide x-waarden zijn die in je gegevens voorkomen.
- 3. Voeg eenheden toe als je wilt. Typ de eenheid van y (meter) en van x (seconde) om het antwoord als zin met “meter per seconde” te krijgen.
- 4. Lees het resultaat. Je krijgt de veranderingssnelheid, Δy en Δx, de secantlijn en een grafiek. Bij een functie zie je ook de limiettabel en het punt uit de middelwaardestelling.
De formule
De gemiddelde veranderingssnelheid van f over [a, b] is (f(b) − f(a)) / (b − a) — de verandering van de uitvoer gedeeld door de verandering van de invoer, oftewel stijging over loop. Meetkundig is het de helling van de secantlijn door de punten (a, f(a)) en (b, f(b)). Ze is negatief als f over het geheel daalt, nul als f eindigt waar het begon, en ze kan over elk interval worden berekend, ook als f daartussen stijgt en daalt.
Uitgewerkte voorbeelden
Een functie. Voor f(x) = x² op [1, 3]: f(1) = 1 en f(3) = 9, dus de veranderingssnelheid is (9 − 1)/(3 − 1) = 4, en de secantlijn is y = 4x − 3. De momentane veranderingssnelheid bij x = 1 is f′(1) = 2, en de gemiddelde veranderingssnelheden over [1, 1 + h] zijn 3 (h = 1); 2,1 (h = 0,1) en 2,01 (h = 0,01): ze naderen 2 naarmate h kleiner wordt. De middelwaardestelling garandeert een punt c in (1, 3) met f′(c) = 4; hier is f′(x) = 2x, dus c = 2.
Een tabel. Een bal die uit rust wordt losgelaten, is na 0, 1, 2, 3 en 4 seconden respectievelijk 0; 4,9; 19,6; 44,1 en 78,4 meter gevallen. Tussen t = 1 en t = 3 stijgt de afgelegde afstand van 4,9 naar 44,1, dus de gemiddelde snelheid is (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 meter per seconde. De veranderingen tussen opeenvolgende seconden zijn 4,9; 14,7; 24,5 en 34,3 m/s, en ze lopen gestaag op omdat de bal versnelt.
Gemiddeld tegenover momentaan
De gemiddelde veranderingssnelheid beschrijft een heel interval; de momentane veranderingssnelheid is de afgeleide, de limiet van de gemiddelde veranderingssnelheid als het interval tot één punt krimpt. Waar de gemiddelde veranderingssnelheden naar één getal toe lopen, is dat getal f′(a). Als je alleen een tabel met gegevens hebt, kun je die limiet niet nemen, maar hoe kleiner de afstand tussen de metingen, hoe beter de gemiddelde veranderingssnelheid de momentane benadert. Haal de gemiddelde veranderingssnelheid niet door elkaar met de gemiddelde waarde van een functie, (1/(b − a))∫ f(x)dx, die de gemiddelde hoogte van de grafiek is en niet de gemiddelde helling.
Veelgestelde vragen
- Hoe bereken je de gemiddelde veranderingssnelheid?
- Trek de functiewaarden in de twee uiteinden van elkaar af en deel door het verschil van de invoerwaarden: (f(b) − f(a))/(b − a). Bij een tabel lees je de y-waarden bij de twee x-waarden af en doe je hetzelfde.
- Wat betekent een negatieve gemiddelde veranderingssnelheid?
- Dat de uitvoer over het hele interval is afgenomen: de secantlijn loopt omlaag. Het zegt niets over wat er daartussen gebeurde, want de functie kan eerst zijn gestegen en daarna verder zijn gedaald.
- Waarin verschilt dit van de helling van een lijn?
- Bij een rechte lijn is de gemiddelde veranderingssnelheid over elk interval gelijk, en is ze de helling. Bij een kromme hangt ze af van het gekozen interval, daarom is het begrip momentane veranderingssnelheid (de afgeleide) nodig.
- Hoe neem ik eenheden mee?
- De eenheid van de snelheid is de eenheid van y gedeeld door die van x. Als y de afstand in meter is en x de tijd in seconden, is de snelheid in meter per seconde. Typ de twee eenheden in de calculator om de zin voor je uitgeschreven te krijgen.
- Wat is de middelwaardestelling in deze context?
- Als f continu is op [a, b] en er tussen differentieerbaar is, dan is er in een punt c in (a, b) de momentane veranderingssnelheid f′(c) gelijk aan de gemiddelde veranderingssnelheid over [a, b]: de raaklijn in c is evenwijdig aan de secantlijn. De calculator zoekt zulke punten numeriek en tekent één raaklijn.
- Kan ik het gebruiken voor gegevens die niet gelijkmatig verdeeld zijn?
- Ja. De veranderingssnelheid tussen twee willekeurige x-waarden die je kiest, is exact voor je gegevens, en de tabel met opeenvolgende veranderingen werkt met ongelijke tussenruimtes omdat elke rij door haar eigen Δx deelt.