औसत परिवर्तन दर कैलकुलेटर

परिणाम

औसत परिवर्तन दर कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. फ़ंक्शन या तालिका चुनें। फ़ंक्शन के लिए f(x) लिखें, जैसे x^2 या sin(x)। डेटा के लिए हर पंक्ति में एक “x, y” जोड़ी लिखें; x-मान किसी भी क्रम में हो सकते हैं।
2. 2. अंतराल दर्ज करें। आरंभ a और अंत b दें। तालिका के लिए दोनों ऐसे x-मान होने चाहिए जो आपके डेटा में मौजूद हों।
3. 3. चाहें तो इकाइयाँ जोड़ें। y की इकाई (मीटर) और x की इकाई (सेकंड) लिखें, ताकि उत्तर “मीटर प्रति सेकंड” वाले वाक्य में मिले।
4. 4. परिणाम पढ़ें। आपको दर, Δy और Δx, सेकेंट रेखा और एक ग्राफ़ मिलता है। फ़ंक्शन के लिए आपको सीमा-तालिका और माध्य मान प्रमेय का बिंदु भी दिखता है।

सूत्र

[a, b] पर f की औसत परिवर्तन दर है (f(b) − f(a)) / (b − a) — आउटपुट में परिवर्तन को इनपुट में परिवर्तन से भाग देना, या ऊपर-नीचे (rise) को आगे-पीछे (run) से भाग देना। ज्यामितीय रूप से यह बिंदुओं (a, f(a)) और (b, f(b)) से गुज़रने वाली सेकेंट रेखा की ढलान है। यदि f कुल मिलाकर गिरता है तो यह ऋणात्मक है, यदि f वहीं खत्म होता है जहाँ से शुरू हुआ तो शून्य, और इसे किसी भी अंतराल पर निकाला जा सकता है, भले ही बीच में f उठे और गिरे।

हल किए गए उदाहरण

एक फ़ंक्शन। f(x) = x² के लिए [1, 3] पर: f(1) = 1 और f(3) = 9, इसलिए दर (9 − 1)/(3 − 1) = 4 है, और सेकेंट रेखा y = 4x − 3 है। x = 1 पर तात्कालिक दर f′(1) = 2 है, और [1, 1 + h] पर औसत दरें 3 (h = 1), 2.1 (h = 0.1) और 2.01 (h = 0.01) हैं: h घटने पर वे 2 की ओर बढ़ती हैं। माध्य मान प्रमेय (1, 3) में एक बिंदु c की गारंटी देता है जहाँ f′(c) = 4 हो; यहाँ f′(x) = 2x है, इसलिए c = 2।

एक तालिका। एक गेंद, जो विराम से गिराई गई, 0, 1, 2, 3 और 4 सेकंड के बाद क्रमशः 0, 4.9, 19.6, 44.1 और 78.4 मीटर गिर चुकी है। t = 1 और t = 3 के बीच दूरी 4.9 से बढ़कर 44.1 हो जाती है, इसलिए औसत चाल (44.1 − 4.9)/(3 − 1) = 19.6 मीटर प्रति सेकंड है। लगातार सेकंडों के बीच की दरें 4.9, 14.7, 24.5 और 34.3 m/s हैं, जो लगातार बढ़ती हैं क्योंकि गेंद त्वरित हो रही है।

औसत बनाम तात्कालिक दर

औसत दर पूरे अंतराल का वर्णन करती है; तात्कालिक दर अवकलज है, यानी औसत दर की वह सीमा जब अंतराल एक बिंदु तक सिकुड़ जाता है। जहाँ औसत दरें एक संख्या की ओर स्थिर होती हैं, वही संख्या f′(a) है। यदि आपके पास केवल डेटा की तालिका है तो आप वह सीमा नहीं ले सकते, पर मापों के बीच का अंतर जितना छोटा हो, औसत दर उतनी ही बेहतर तात्कालिक दर का अनुमान लगाती है। औसत परिवर्तन दर को औसत मान के साथ भ्रमित न करें, (1/(b − a))∫ f(x)dx, जो ग्राफ़ की औसत ऊँचाई है, न कि उसकी औसत ढलान।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

औसत परिवर्तन दर कैसे ज्ञात करें?

अंतिम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों का अंतर लें और इनपुट के अंतर से भाग दें: (f(b) − f(a))/(b − a)। तालिका के लिए, दो x-मानों पर y-मान पढ़ें और वही करें।

औसत परिवर्तन दर ऋणात्मक हो तो इसका क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है कि अंतराल में आउटपुट कुल मिलाकर घटा: सेकेंट रेखा नीचे की ओर ढलान वाली है। यह नहीं बताती कि बीच में क्या हुआ, क्योंकि फ़ंक्शन पहले बढ़ा हो सकता है और फिर और अधिक गिर सकता है।

यह रेखा की ढलान से कैसे अलग है?

सीधी रेखा के लिए औसत परिवर्तन दर हर अंतराल पर एक समान होती है और वह ढलान के बराबर होती है। वक्र के लिए यह चुने गए अंतराल पर निर्भर करती है, इसीलिए तात्कालिक दर (अवकलज) की धारणा ज़रूरी है।

इकाइयाँ कैसे शामिल करूँ?

दर की इकाइयाँ y की इकाइयों को x की इकाइयों से भाग देने पर मिलती हैं। यदि y दूरी मीटर में है और x समय सेकंड में, तो दर मीटर प्रति सेकंड में है। दोनों इकाइयाँ कैलकुलेटर में लिखें, और वह आपके लिए वाक्य पूरा लिख देगा।

इस संदर्भ में माध्य मान प्रमेय क्या है?

यदि f [a, b] पर सतत है और बीच में अवकलनीय है, तो (a, b) में किसी बिंदु c पर तात्कालिक दर f′(c) [a, b] पर औसत दर के बराबर होती है: c पर स्पर्श रेखा सेकेंट के समानांतर होती है। कैलकुलेटर ऐसे बिंदु संख्यात्मक रूप से खोजता है और एक स्पर्श रेखा खींचता है।

क्या इसे असमान अंतराल वाले डेटा के लिए उपयोग कर सकते हैं?

हाँ। आपके चुने हुए किन्हीं दो x-मानों के बीच की दर आपके डेटा के लिए सटीक है, और लगातार दरों वाली तालिका असमान अंतरों को संभालती है, क्योंकि हर पंक्ति अपने Δx से भाग देती है।