अवकलज कैलकुलेटर

परिणाम

इस रूप में पढ़ा गया: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

अवकलज कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. फ़ंक्शन लिखें। उसे उसी तरह लिखें जैसे आप कागज़ पर लिखते: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2)। किसी संख्या या अक्षर और उसके बाद आने वाली चीज़ के बीच गुणा का चिह्न छोड़ा जा सकता है, इसलिए 2x और x sin x काम करते हैं।
2. 2. चर और क्रम चुनें। अवकलज x के सापेक्ष लिया जाता है, जब तक आप कोई और अक्षर न चुनें; बाकी हर अक्षर को स्थिरांक माना जाता है। क्रम 2 दूसरा अवकलज देता है, और इसी तरह 5 तक।
3. 3. संख्या चाहिए तो एक बिंदु जोड़ें। 2, -1.5 या pi/4 लिखें, और फ़ंक्शन तथा उसका अवकलज वहाँ निकाले जाएँगे, जहाँ बीजगणित अनुमति देता है (1/2, 2sin(1) + cos(1)) और दशमलव में भी।
4. 4. गणना पढ़ें। पहले उत्तर आता है, फिर आपके चुने क्रम तक हर अवकलज, और फिर हर उप-व्यंजक के लिए एक पंक्ति, जिसमें इस्तेमाल हुआ नियम और उससे बना अवकलज दिया होता है।

कैलकुलेटर जो नियम लगाता है

हल किए गए उदाहरण

गुणनफल और श्रृंखला नियम साथ-साथ। f(x) = x² sin(x) के लिए, u = x² और v = sin x के साथ गुणनफल नियम u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x देता है। x = 1 पर यह 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2.2232443 है। f(x) = sin(x²) के लिए बाहरी फ़ंक्शन sine है और अंदर u = x² है, इसलिए f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²)।

भागफल नियम, फिर उच्च क्रम। f(x) = (x² + 1)/(x − 1) के लिए, u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, तो f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²। x = 3 पर यह 2/4 = 1/2 है। फिर से अवकलित करने पर दूसरे अवकलज के अंश में (x − 1) का एक गुणनखंड होता है जो कट जाता है, और f″(x) = 4/(x − 1)³ रह जाता है — कैलकुलेटर ऐसे गुणनखंड काटता है ताकि उच्च अवकलज अपने छोटे रूप में आएँ।

आपका इनपुट कैसे पढ़ा जाता है

• गुणा। 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) और x sin x गुणा होते हैं। अक्षर या कोष्ठक के बाद कोई नंगी संख्या नहीं आ सकती (x2 अस्वीकार होता है, अनुमान नहीं लगाया जाता): x*2 या 2x लिखें।
• भाग। अंतर्निहित गुणा * और / के साथ बाएँ से दाएँ क्रम में आता है, इसलिए 1/2x का अर्थ (1/2)·x है। दूसरे पाठ के लिए 1/(2x) लिखें। “इस रूप में पढ़ा गया” वाली पंक्ति दिखाती है कि वास्तव में क्या समझा गया।
• घात। -x^2 का अर्थ −(x²) है, 2^-x का अर्थ 2 की −x घात है, और a^b^c का अर्थ a^(b^c) है। sin^2(x) का अर्थ (sin x)² है। sin^-1(x) अस्पष्ट होने के कारण अस्वीकार होता है — asin(x) या 1/sin(x) लिखें।
• बिना कोष्ठक के फ़ंक्शन। sin x, ln x^2 (यानी x² का ln) और sin 2x एक सरल तर्क लेते हैं; sin x (x+1) का अर्थ sin(x) गुणा (x+1) है।
• नाम। चर एकल अक्षर होते हैं, e ऑयलर की संख्या है, pi या π, π है, exp(x) eˣ है, ln प्राकृतिक लघुगणक है और log आधार 10 का। log(x, 2) आधार-2 का लघुगणक है। कोण रेडियन में हैं।

ध्यान रखने योग्य बातें

परिणाम एक मानक रूप में सरल किए जाते हैं — सजातीय पद जोड़े जाते हैं, बहुपद विस्तारित किए जाते हैं, साझा गुणनखंड बाहर निकाले जाते हैं, और अंश व हर के बीच समान गुणनखंड काटे जाते हैं — पर देखने में अलग दिखने वाला उत्तर फिर भी सही हो सकता है। दोनों को किसी बिंदु पर मान निकालकर जाँचें। (x − 1) जैसे गुणनखंड को काटने से x = 1 पर प्रांत चुपचाप चौड़ा हो सकता है, जैसा किसी भी बीजगणित प्रणाली में होता है, इसलिए अवकलज का दावा केवल वहीं किया जाता है जहाँ मूल फ़ंक्शन परिभाषित है।

|u| का अवकलज u·u′/|u| है, जो वहाँ अस्तित्व में नहीं है जहाँ u = 0; ग्राफ़ वहाँ का कोना दिखाता है। यह उपकरण एक चुने हुए चर के स्पष्ट फ़ंक्शनों का अवकलन करता है, और बाकी अक्षरों को स्थिरांक मानता है (आंशिक अवकलज इसी तरह लिया जाता है); यह अंतर्निहित अवकलन नहीं करता।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अवकलज चरण-दर-चरण कैसे निकाला जाता है?

व्यंजक की सबसे बाहरी संरचना पहचानें और मेल खाता नियम लगाएँ: योग को पद-दर-पद बाँटें, अचर गुणांक बाहर निकालें, जब दो हिस्से दोनों में चर हो तो गुणनफल या भागफल नियम, और जब फ़ंक्शन के अंदर x के अलावा कुछ हो तो श्रृंखला नियम। फिर हर टुकड़े पर दोहराएँ। ऊपर की गणना ठीक इसी क्रम का पालन करती है, सबसे बाहरी से शुरू।

श्रृंखला नियम कब लगाएँ, और गुणनफल नियम कब?

गुणनफल नियम तब लगाएँ जब एक साथ गुणा हो रहे दो गुणनखंड दोनों x पर निर्भर हों, जैसे x² sin x। श्रृंखला नियम तब लगाएँ जब एक फ़ंक्शन दूसरे के अंदर हो, जैसे sin(x²) या e^(3x)। कई प्रश्नों में दोनों चाहिए, जैसे x² sin(3x)।

दूसरे अवकलज का उपयोग क्या है?

यह अवकलज का अवकलज है, इसलिए यह मापता है कि ढलान स्वयं कितनी तेज़ी से बदलती है। धनात्मक दूसरा अवकलज बताता है कि ग्राफ़ ऊपर की ओर अवतल है (प्याले की तरह मुड़ा), और ऋणात्मक नीचे की ओर अवतल। जिस बिंदु पर f′ = 0 है, वहाँ f″ का चिह्न अधिकतम और न्यूनतम में अंतर बताता है।

क्या मैं आंशिक अवकलज ले सकता हूँ?

हाँ, उस अर्थ में जो एक की गणना के लिए मायने रखता है। फ़ंक्शन कई अक्षरों के साथ लिखें, जैसे x^2 y + sin(y x), और जिसके सापेक्ष अवकलित करना है वह चर चुनें; बाकी अक्षर स्थिर रखे जाते हैं। एक से अधिक चर वाले फ़ंक्शनों के लिए ग्राफ़ छिपा रहता है।

|x| का 0 पर अवकलज अपरिभाषित क्यों है?

|x| के ग्राफ़ का मूल बिंदु पर एक तीखा कोना है: बाईं ओर ढलान −1 है और दाईं ओर +1, इसलिए कोई एक स्पर्शरेखा नहीं है। 0 से हटकर अवकलज x/|x| है, जो ऋणात्मक x के लिए −1 और धनात्मक x के लिए +1 है।

क्या log प्राकृतिक लघुगणक है या आधार 10?

यहाँ log आधार 10 है, जैसे वैज्ञानिक कैलकुलेटर पर, और ln प्राकृतिक लघुगणक है; विषयों में इस पर मतभेद है, इसलिए अपनी पाठ्यपुस्तक जाँच लें। किसी और आधार के लिए log(x, b) लिखें। log(x) का अवकलज 1/(x ln 10) है, और ln(x) का 1/x।

मेरा उत्तर पाठ्यपुस्तक से अलग क्यों दिखता है?

तुल्य व्यंजक कई तरह से लिखे जा सकते हैं: (x + 1)eˣ और xeˣ + eˣ एक ही फ़ंक्शन हैं। अगर रूप अलग हो, तो एक-दो बिंदुओं पर दोनों का मान निकालें — आपके चुने बिंदु पर मान इसी के लिए है — बजाय यह मान लेने के कि एक गलत है।