ऑयलर विधि कैलकुलेटर

परिणाम

ऑयलर विधि कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. समीकरण दर्ज करें। x और y का उपयोग करके dy/dx = f(x, y) का दायाँ पक्ष लिखें: x + y, y*(1 - y), sin(x) - y।
2. 2. प्रारंभिक शर्त और अंत दें। x₀, y₀ = y(x₀) और वह x-मान दर्ज करें जहाँ तक हल करना है। अंत x₀ के बाईं ओर भी हो सकता है।
3. 3. चरण चुनें। चरण आकार h दर्ज करें, या चरणों की संख्या n पर स्विच करें। यदि h अंतराल को समान रूप से नहीं बाँटता, तो कैलकुलेटर उसे समायोजित करके बताता है।
4. 4. विधि चुनें और तालिका पढ़ें। हर पंक्ति में xₙ, yₙ और उपयोग की गई प्रवणताएँ दिखती हैं। यदि आप सटीक हल जानते हैं, तो उसे दर्ज करें ताकि वास्तविक त्रुटि दिखे।

तीन विधियाँ

ऑयलर विधि हर चरण की शुरुआत में स्पर्शरेखा रेखा का अनुसरण करती है। हून विधि चरण की शुरुआत की प्रवणता को अनुमानित अंत की प्रवणता के साथ औसत करती है, इसीलिए इसे स्पष्ट ट्रैपेज़ॉइड नियम भी कहा जाता है। रुंगे–कुट्टा 4 प्रति चरण प्रवणता चार बार नमूना लेती है और उन्हें 1, 2, 2, 1 भार देती है। ये Burden and Faires की Numerical Analysis के अध्याय 5 की विधियाँ हैं।

हल किया गया उदाहरण: y′ = x + y, y(0) = 1

सटीक हल y = 2eˣ − x − 1 है, इसलिए y(1) = 2e − 2 ≈ 3.4365637। h = 0.1 के साथ ऑयलर विधि के पहले चरण ये हैं:

उदाहरण के लिए, y₁ = 1 + 0.1 × (0 + 1) = 1.1 और y₂ = 1.1 + 0.1 × (0.1 + 1.1) = 1.22। दस चरणों के बाद ऑयलर विधि y(1) ≈ 3.1874849 तक पहुँचती है, यानी −0.2491 की त्रुटि; यह कम आँकती है, क्योंकि सटीक हल उत्तल है और स्पर्शरेखाएँ उसके नीचे रहती हैं।

h के आधा होने पर ऑयलर की त्रुटि लगभग आधी, हून की एक-चौथाई और RK4 की एक-सोलहवाँ रह जाती है, जैसा कोटि-तालिका बताती है। n = 10 पर RK4 की त्रुटि के बराबर पहुँचने के लिए ऑयलर विधि को कई लाख चरण चाहिए।

प्रवणता-क्षेत्र और त्रुटि कैसे पढ़ें

ग्राफ़ पर छोटे खंड बिंदुओं के एक ग्रिड पर प्रवणता f(x, y) दिखाते हैं: वास्तविक हल एक ऐसा वक्र है जो हर जगह इन खंडों को स्पर्श करता है। संख्यात्मक हल उसके ऊपर बहुभुज रेखा के रूप में खींचा जाता है; यदि आप सटीक हल देते हैं, तो वह उसके साथ बिंदुकित रेखा में दिखाया जाता है। सटीक हल न होने पर त्रुटि-स्तंभ RK4 के कम से कम 2,000 चरणों वाले संदर्भ मान से तुलना करता है, जो यहाँ चुनी जाने वाली किसी भी विधि से कहीं अधिक सटीक है। कुछ समीकरण परिमित समय में अनंत हो जाते हैं, जैसे x = 1 पर y(0) = 1 के साथ y′ = y²; जहाँ मान अनंत हो जाते हैं, तालिका वहीं रुक जाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

ऑयलर विधि कैसे काम करती है?

यह हल को चरण-दर-चरण बनाती है। बिंदु (xₙ, yₙ) से यह अवकल समीकरण के आधार पर प्रवणता f(xₙ, yₙ) निकालती है और उस स्पर्शरेखा रेखा पर क्षैतिज दूरी h तक चलती है, यानी yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)। हर नया बिंदु अगले चरण का आरंभिक बिंदु बनता है।

ऑयलर विधि कितनी सटीक है?

प्रति चरण इसकी स्थानीय त्रुटि h² के समानुपाती होती है, लेकिन त्रुटियाँ लगभग 1/h चरणों में जमा होती हैं, इसलिए वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है। चरण आधा करने पर त्रुटि भी आधी हो जाती है। यह सीखने के लिए अच्छी विधि है, परिशुद्धता के लिए नहीं।

सुधरी हुई ऑयलर विधि क्या है?

सुधरी हुई ऑयलर विधि, या हून की विधि, पहले अंतराल के अंत का अनुमान लगाने के लिए एक ऑयलर चरण लेती है, फिर वहाँ की प्रवणता को आरंभ की प्रवणता के साथ औसत करती है। इस द्वितीय-कोटि सुधार से वैश्विक त्रुटि h के बजाय h² के समानुपाती हो जाती है, जिसकी कीमत प्रति चरण दो प्रवणता-मूल्यांकन है।

चरण आकार कैसे चुनूँ?

आधा करने वाली तालिका का उपयोग करें: h तब तक घटाएँ जब तक उत्तर आपके लिए महत्वपूर्ण अंकों में बदलना बंद न कर दे। ऑयलर विधि को छोटे h की ज़रूरत होती है, लेकिन RK4 बहुत बड़े h पर भी उतनी ही सटीकता देती है। कठोर (स्टिफ़) समीकरण, जिनमें कुछ घटक तेज़ी से क्षय होते हैं, इन सभी विधियों पर छोटे h की माँग कर सकते हैं।

क्या यह द्वितीय-कोटि या समीकरण-निकाय हल कर सकता है?

नहीं। यह केवल एक प्रथम-कोटि समीकरण dy/dx = f(x, y) हल करता है। द्वितीय-कोटि समीकरण को प्रथम-कोटि निकाय में बदला जा सकता है, लेकिन यह उपकरण निकायों को नहीं संभालता।

हल बीच में क्यों रुक जाता है?

मान अनंत हो गए, जो तब होता है जब सटीक हल परिमित समय में अनंत हो जाता है, या किसी अस्थिर समीकरण के लिए चरण बहुत बड़ा हो। तालिका अंतिम परिमित पंक्ति पर समाप्त होती है, और संदेश वह x-मान बताता है जिसके निकट यह हुआ।