निश्चित समाकल कैलकुलेटर

परिणाम

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

निश्चित समाकल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. फ़ंक्शन लिखें। चर के रूप में x इस्तेमाल करें: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x)। गुणन चिह्न छोड़ा जा सकता है, इसलिए 2x और x sin x काम करते हैं।
2. 2. सीमाएँ दर्ज करें। संख्याएँ या स्थिरांक जैसे 0, -2 या pi/2 इस्तेमाल करें। अनुचित समाकल के लिए, अनंत सीमा हेतु inf या -inf टाइप करें।
3. 3. मान और उसकी त्रुटि पढ़ें। अनुमानित निरपेक्ष त्रुटि बताती है कि छपे अंकों में से कितने भरोसेमंद हैं। यदि f चिह्न बदलता है, तो शुद्ध चिह्नित क्षेत्रफल के साथ कुल अचिह्नित क्षेत्रफल ∫|f| भी दिखाया जाता है।
4. 4. टिप्पणियाँ और ग्राफ़ देखें। कोई भी विचित्रता, अनंत सीमा या अभिसरण की समस्या सादे शब्दों में बताई जाती है, और ग्राफ़ अक्ष के ऊपर का क्षेत्र (नीला) और नीचे का (नारंगी) छायांकित करता है।

समाकल की गणना कैसे होती है

डिफ़ॉल्ट विधि है अनुकूली गाउस–क्रोनरॉड, जो QUADPACK के पीछे की योजना है। हर उपअंतराल पर 7-बिंदु गाउस नियम और 15-बिंदु क्रोनरॉड नियम नेस्टेड बिंदुओं पर लगाए जाते हैं; क्रोनरॉड मान अनुमान है और दोनों का अंतर त्रुटि का अनुमान है। जिस उपअंतराल में सबसे बड़ी त्रुटि हो उसे दो भागों में बाँटा जाता है, और यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कुल त्रुटि परिणाम के 10⁻¹⁰ से कम (या निरपेक्ष रूप से 10⁻¹²) न हो जाए। सुचारु फ़ंक्शनों के लिए यह आमतौर पर कुछ सौ या उससे कम मूल्यांकनों में 12 से 14 सही अंक देता है।

एक अनंत सीमा को x = a + t/(1 − t) से [0, 1) पर मैप किया जाता है। जब किसी सिरे पर f परिमित नहीं होता, जैसे 0 पर ln x या 1/√x, तो कैलकुलेटर tanh–sinh (double-exponential) quadrature पर स्विच करता है, जो समाकलनीय सिरे-विचित्रताओं से निपटता है; उन परिणामों को लगभग आठ अंकों तक बताया जाता है। पृष्ठभूमि के लिए NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5 देखें।

हल किए गए उदाहरण

विचित्रताएँ, अपसरण और उनकी चेतावनियाँ

• समाकलनीय विचित्रता। ∫₀¹ 1/√x dx = 2 और ∫₀¹ ln x dx = −1 परिमित हैं, हालाँकि 0 पर समाकल्य अनंत हो जाता है। कैलकुलेटर अनुचित सिरे को बताता है और tanh–sinh नियम इस्तेमाल करता है।
• अपसरण। ∫₀¹ 1/x dx के लिए जितना आप 0 के करीब रुकेंगे, क्षेत्रफल उतना बढ़ता जाता है। टूल इसे उन बिंदुओं तक समाकलन करके जाँचता है जो समस्या-बिंदु के लगातार करीब होते हैं; यदि वृद्धि घटती नहीं, तो यह मान देने के बजाय अपसरण की रिपोर्ट करता है। वही परीक्षण ∫₋₁¹ 1/x dx को भी अस्वीकार करता है: इसके दोनों हिस्से एक-दूसरे को रद्द करते हैं (मुख्य मान 0), पर हर हिस्सा अलग से अपसरित होता है, इसलिए समाकल का अस्तित्व नहीं है।
• अंतराल के एक भाग में वास्तविक नहीं। ∫₋₁¹ √x dx का कोई मान नहीं है, क्योंकि ऋणात्मक x के लिए √x वास्तविक नहीं होता। कैलकुलेटर उस बिंदु का नाम बताता है जहाँ f परिभाषित होना बंद करता है।
• संकरे शिखर। कोई भी संख्यात्मक नियम अपने नमूना-अंतराल से बहुत संकरी विशेषता को चूक सकता है। सहायता के लिए अंतराल को पहले आठ पैनलों में बाँटा जाता है, पर यदि आपको कोई शिखर संदेह हो, तो समाकल को वहाँ स्वयं बाँटें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

निश्चित समाकल क्या दर्शाता है?

यह वक्र y = f(x) और x-अक्ष के बीच a से b तक का शुद्ध चिह्नित क्षेत्रफल है: अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक और नीचे का ऋणात्मक गिना जाता है। कलन की मूल प्रमेय के अनुसार यह किसी ऐसी राशि के संचित परिवर्तन के बराबर भी है जिसकी परिवर्तन-दर f(x) है।

समाकल 0 है, पर क्षेत्रफल 0 क्यों नहीं है?

[0, 2π] पर sin x के लिए अक्ष के ऊपर और नीचे के हिस्से एक-दूसरे को रद्द करते हैं, इसलिए शुद्ध समाकल 0 है, पर ज्यामितीय क्षेत्रफल 4 है। जब भी फ़ंक्शन चिह्न बदलता है, कैलकुलेटर दोनों दिखाता है: |f| का समाकल कुल क्षेत्रफल देता है।

परिणाम कितना सटीक है?

सुचारु फ़ंक्शनों के लिए त्रुटि का अनुमान आमतौर पर 10⁻¹³ या उससे कम होता है, और मान दस सार्थक अंकों तक बताया जाता है। अनुचित समाकलों और अनंत सीमाओं के लिए बताई गई सटीकता लगभग आठ अंक है। दिखाई गई त्रुटि संख्यात्मक त्रुटि का अनुमान है, गणितीय रूप से गारंटीशुदा सीमा नहीं।

अनुचित समाकल क्या है?

वह समाकल जिसकी कोई अनंत सीमा हो, या जिसमें अंतराल के किसी बिंदु पर समाकल्य असीमित हो। इसे एक सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, और यह तभी अभिसरित होता है जब वह सीमा परिमित हो: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 अभिसरित है, पर ∫₁^∞ 1/x dx नहीं।

क्या यह प्रतिअवकलज दे सकता है?

नहीं। यह समाकल का संख्यात्मक मान निकालता है, जो उन फ़ंक्शनों के लिए भी काम करता है जिनका कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, जैसे e^(−x²) या sin(x)/x। चरणों के साथ प्रतीकात्मक कार्य के लिए अवकलज कैलकुलेटर उपकरण है।

sin(x)/x को 0 के पार कैसे समाकलित करूँ?

इसे ऐसी सीमाओं के साथ दर्ज करें जो 0 को पार करती हों, जैसे −1 से 1। फ़ंक्शन ठीक 0 पर परिभाषित नहीं है, पर वहाँ उसकी सीमा 1 है, और अंतराल ऐसे बाँटा जाता है कि वह बिंदु कभी नमूने में न आए; परिणाम 1.892166141 है, जो 2·Si(1) है।

यदि मेरे फ़ंक्शन में कोई पैरामीटर हो, जैसे a·x²?

पहले पैरामीटर की जगह एक संख्या रखें। निश्चित समाकल एक एकल संख्या है, इसलिए समाकलन के चर को छोड़कर हर अक्षर का मान होना चाहिए। कोई एक अक्षर चर हो सकता है, पर केवल एक।