定積分計算ツール
関数と2つの積分範囲を入力すると、約10桁の精度で定積分の値が得られ、誤差の推定、正味の面積と全面積、そして面積を塗りつぶしたグラフが表示されます。積分範囲は無限大（inf と入力）も可能です。特異点があったり発散したりする場合は、誤った数値を出すのではなく、そう伝えます。すべてブラウザ内で動きます。無料で、登録は不要です。
+ − * / ^ と括弧を使います。関数：sin、cos、tan、sec、csc、cot、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、ln、log（底10）、sqrt、abs。定数：pi と e。
0、−2、pi/2 のような数値または定数。無限大の範囲には inf または −inf と入力します。
結果
2
積分の値
2.2E-14
推定される絶対誤差
120
関数の評価回数
方法
適応的ガウス・クロンロッド法：8個の小区間で、7点のガウス則と15点のクロンロッド則を使います。両者の差が誤差を推定します。
グラフ
- y = f(x)
- 軸より上の面積
- 軸より下の面積
定積分計算ツールの使い方
- 1. 関数を入力します。 変数は x を使います。例：
sin(x)、e^(-x^2)、1/sqrt(x)、x^2 ln(x)。乗算記号は省略できるので、2xやx sin xも使えます。 - 2. 積分範囲を入力します。
0、-2、pi/2のような数値や定数を使います。広義積分では、無限大の範囲にinfまたは-infと入力します。 - 3. 値と誤差を読みます。 推定される絶対誤差は、表示された桁のうちどこまでを信頼できるかを示します。fの符号が変わる場合は、正味の符号付き面積の隣に、全体の符号なし面積 ∫|f| を表示します。
- 4. 注記とグラフを確認します。 特異点、無限大の範囲、収束の問題は平易な言葉で報告され、グラフは軸より上の面積を青、下の面積をオレンジで塗ります。
積分の計算方法
既定の方法は適応的ガウス・クロンロッド法で、QUADPACKの背後にある手法です。各小区間で、7点のガウス則と15点のクロンロッド則を入れ子になった点で評価します。クロンロッドの値が推定値となり、両者の差が誤差の推定です。誤差が最も大きい小区間を二分し、全体の誤差が結果の10⁻¹⁰倍（または絶対値で10⁻¹²）以下になるまで繰り返します。滑らかな関数では、通常、数百回以下の評価で12〜14桁の正しい数字が得られます。
無限大の範囲は、x = a + t/(1 − t) によって [0, 1) へ写像されます。ln x や、0での 1/√x のように、被積分関数が端点で有限でない場合は、計算ツールは二重指数（tanh–sinh）求積法に切り替えます。これは可積分な端点の特異点を扱うもので、その結果は約8桁の精度で報告されます。求積法の背景については、NISTのDigital Library of Mathematical Functions, §3.5を参照してください。
計算例
| 積分 | 結果 | 備考 |
|---|---|---|
| ∫₀^π sin x dx | 2 | 誤差は約2×10⁻¹⁴ |
| ∫₀¹ e^(−x²) dx | 0.7468241328 | 初等的な原始関数はない。(√π/2)·erf(1) に等しい |
| ∫₀¹ ln x dx | −1 | 0で広義積分、収束する |
| ∫₁^∞ x⁻² dx | 1 | 無限大の範囲、収束する |
| ∫−∞∞ e^(−x²) dx | 1.772453851 | √π に等しい |
| ∫₀2π sin x dx | 0 | 正味の面積。全面積は4 |
| ∫₀¹ 1/x dx | 発散 | 有限の値は表示されない |
特異点、発散、その警告
- 可積分な特異点。 ∫₀¹ 1/√x dx = 2 と ∫₀¹ ln x dx = −1 は、0で被積分関数が発散していても、有限の値を持ちます。計算ツールは端点が広義であることを注記し、tanh–sinh則を使います。
- 発散。 ∫₀¹ 1/x dx では、0に近づくほど面積が増え続けます。計算ツールは、問題の点に次第に近い点まで積分して、これを検査します。増分が小さくならなければ、値ではなく発散を報告します。同じ検査により ∫₋₁¹ 1/x dx も拒否されます。その2つの半分は打ち消し合い（主値は0）ますが、それぞれは単独では発散するため、積分は存在しません。
- 一部の区間で実数でない。 ∫₋₁¹ √x dx は値を持ちません。x が負のとき √x は実数ではないからです。計算ツールは、f が定義されなくなる点を示します。
- 細いスパイク。 どの数値的な則も、サンプル間隔よりずっと狭い特徴を見逃すおそれがあります。区間は助けのために8つのパネルに分割されますが、スパイクが疑われる場合は、その点で積分を自分で分割してください。
よくある質問
- 定積分は何を表しますか？
- 曲線 y = f(x) と x軸の間の、aからbまでの正味の符号付き面積です。x軸より上の面積は正、下の面積は負として数えます。微積分学の基本定理により、変化率が f(x) である任意の量の累積変化とも等しくなります。
- 積分が0なのに面積は0ではないのはなぜですか？
- sin x を [0, 2π] で積分すると、軸より上の部分と下の部分が打ち消し合うので、正味の積分は0になりますが、幾何学的な面積は4です。計算ツールは、関数の符号が変わるときは常に両方を表示します。|f| の積分が全面積を与えます。
- 結果はどの程度正確ですか？
- 滑らかな関数では、誤差の推定は通常 10⁻¹³ 程度以下で、値は有効数字10桁で報告されます。広義積分や無限大の範囲では、示される精度は約8桁です。表示される誤差は数値誤差の推定であり、数学的に保証された上限ではありません。
- 広義積分とは何ですか？
- 無限大の範囲を持つ積分、または区間の一点で被積分関数が有界でない積分です。極限として定義され、その極限が有限である場合にのみ収束します。∫₁^∞ x⁻² dx = 1 は収束しますが、∫₁^∞ 1/x dx は収束しません。
- 原始関数を求めることはできますか？
- いいえ。数値的に積分を評価します。これは e^(−x²) や sin(x)/x のように初等的な原始関数を持たない関数でも機能します。途中過程つきの記号的な計算には、微分計算ツールを使ってください。
- x = 0 をまたいで sin(x)/x を積分するにはどうすればよいですか？
- 0をまたぐ積分範囲、たとえば −1 から 1 で、そのまま入力してください。関数は正確に0では定義されませんが、0での極限は1で、区間は点そのものが標本化されないように分割されます。結果は 1.892166141 で、これは 2·Si(1) です。
- a·x² のようにパラメータを含む関数はどうすればよいですか？
- 先に、パラメータを数値で置き換えてください。定積分は1つの数値なので、積分変数以外のすべての文字に値が必要です。どの文字でも積分変数にできますが、積分変数は1つだけです。