Calculateur d'intégrale définie

Résultats

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Comment utiliser le calculateur d'intégrale définie

1. 1. Saisissez la fonction. Utilisez x comme variable : sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). La multiplication peut être omise : 2x et x sin x fonctionnent.
2. 2. Saisissez les bornes. Utilisez des nombres ou des constantes comme 0, -2 ou pi/2. Pour une intégrale impropre, saisissez inf ou -inf pour une borne infinie.
3. 3. Lisez la valeur et son erreur. L'erreur absolue estimée indique combien de chiffres affichés sont fiables. Si f change de signe, l'aire totale non signée ∫|f| est affichée à côté de l'aire nette signée.
4. 4. Consultez les remarques et le graphique. Toute singularité, borne infinie ou problème de convergence est signalé en termes simples, et le graphique hachure l'aire au-dessus de l'axe (en bleu) et en dessous (en orange).

Comment l'intégrale est calculée

La méthode par défaut est la quadrature adaptative de Gauss–Kronrod, celle qui se trouve derrière QUADPACK. Sur chaque sous-intervalle, une règle de Gauss à 7 points et une règle de Kronrod à 15 points sont évaluées en des points imbriqués ; la valeur de Kronrod est l'estimation, et l'écart entre les deux est l'estimation de l'erreur. Le sous-intervalle présentant la plus grande erreur est coupé en deux, et le processus se répète jusqu'à ce que l'erreur totale soit inférieure à 10⁻¹⁰ du résultat (ou à 10⁻¹² en valeur absolue). Pour les fonctions régulières, on obtient en général 12 à 14 chiffres exacts avec quelques centaines d'évaluations, voire moins.

Une borne infinie est ramenée à [0, 1) par x = a + t/(1 − t). Lorsque f n'est pas finie à une extrémité, comme ln x ou 1/√x en 0, le calculateur bascule vers la quadrature tanh–sinh (double exponentielle), qui gère les singularités intégrables aux extrémités ; ces résultats sont donnés à environ huit chiffres près. Pour le contexte de ces méthodes, voir le Digital Library of Mathematical Functions du NIST, §3.5.

Exemples détaillés

Singularités, divergence et leurs alertes

• Singularité intégrable. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 et ∫₀¹ ln x dx = −1 sont finies bien que la fonction explose en 0. Le calculateur signale l'extrémité impropre et utilise la règle tanh–sinh.
• Divergence. Pour ∫₀¹ 1/x dx, l'aire ne cesse de croître à mesure que l'on s'arrête plus près de 0. L'outil le teste en intégrant jusqu'à des points de plus en plus proches du point critique ; si les accroissements ne diminuent pas, il signale une divergence au lieu d'une valeur. Le même test refuse ∫₋₁¹ 1/x dx : ses deux moitiés s'annulent (valeur principale de 0), mais chacune diverge séparément, si bien que l'intégrale n'existe pas.
• Pas réelle sur une partie de l'intervalle. ∫₋₁¹ √x dx n'a pas de valeur, car √x n'est pas réel pour x négatif. Le calculateur nomme le point où f cesse d'être définie.
• Pics étroits. Toute règle numérique peut manquer une particularité bien plus étroite que son pas d'échantillonnage. L'intervalle est d'abord découpé en huit panneaux pour aider, mais si vous soupçonnez un pic, découpez l'intégrale vous-même à cet endroit.

Questions fréquentes

Que représente une intégrale définie ?

C'est l'aire nette signée comprise entre la courbe y = f(x) et l'axe des abscisses, de a à b : l'aire au-dessus de l'axe compte positivement, celle en dessous négativement. Elle égale aussi la variation accumulée de toute grandeur dont le taux de variation est f(x), d'après le théorème fondamental de l'analyse.

Pourquoi l'intégrale vaut-elle 0 alors que l'aire ne l'est pas ?

Pour sin x sur [0, 2π], la partie au-dessus de l'axe et celle en dessous se compensent : l'intégrale nette vaut 0, mais l'aire géométrique vaut 4. Le calculateur affiche les deux dès que la fonction change de signe : l'intégrale de |f| donne l'aire totale.

Quelle est la précision du résultat ?

Pour les fonctions régulières, l'estimation de l'erreur est typiquement de l'ordre de 10⁻¹³ ou moins, et la valeur est donnée à dix chiffres significatifs. Pour les intégrales impropres et les bornes infinies, la précision annoncée est d'environ huit chiffres. L'erreur affichée est une estimation de l'erreur numérique, et non une borne mathématiquement garantie.

Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ?

Une intégrale dont une borne est infinie, ou dont la fonction n'est pas bornée en un point de l'intervalle. Elle est définie comme une limite, et elle ne converge que si cette limite est finie : ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 converge, mais ∫₁^∞ 1/x dx ne converge pas.

Le calculateur peut-il donner la primitive ?

Non. Il évalue l'intégrale numériquement, ce qui fonctionne aussi pour les fonctions sans primitive élémentaire, comme e^(−x²) ou sin(x)/x. Le Derivative Calculator est l'outil pour le calcul formel détaillé.

Comment intégrer sin(x)/x en traversant 0 ?

Saisissez-la simplement avec des bornes qui encadrent 0, par exemple de −1 à 1. La fonction n'est pas définie en 0 exactement, mais sa limite y vaut 1 ; l'intervalle est découpé de sorte que ce point n'est jamais évalué, et le résultat est 1,892166141, soit 2·Si(1).

Et si ma fonction contient un paramètre, comme a·x² ?

Remplacez d'abord le paramètre par un nombre. Une intégrale définie est un nombre unique : chaque lettre autre que la variable d'intégration doit donc avoir une valeur. N'importe quelle lettre peut être la variable, mais une seule.