Calculateur de dérivées

Résultats

Lu comme: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Comment utiliser le calculateur de dérivées

1. 1. Saisissez la fonction. Écrivez-la comme sur papier : 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). La multiplication peut être omise entre un nombre ou une lettre et ce qui suit, si bien que 2x et x sin x fonctionnent.
2. 2. Choisissez la variable et l'ordre. La dérivée est prise par rapport à x sauf si vous choisissez une autre lettre ; toutes les autres lettres sont traitées comme des constantes. L'ordre 2 donne la dérivée seconde, et ainsi de suite jusqu'à 5.
3. 3. Ajoutez un point si vous voulez un nombre. Saisissez 2, -1.5 ou pi/4 pour obtenir la fonction et sa dérivée évaluées en ce point, exactement là où l'algèbre le permet (1/2, 2sin(1) + cos(1)), puis sous forme décimale.
4. 4. Lisez le calcul. La réponse apparaît en premier, puis chaque dérivée jusqu'à l'ordre choisi, puis une ligne par sous-expression qui nomme la règle utilisée et la dérivée produite.

Les règles appliquées par le calculateur

Exemples détaillés

Règles du produit et de la chaîne combinées. Pour f(x) = x² sin(x), la règle du produit avec u = x² et v = sin x donne u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. En x = 1, cela fait 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Pour f(x) = sin(x²), la fonction extérieure est le sinus et l'intérieur est u = x², donc f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Règle du quotient, puis ordres supérieurs. Pour f(x) = (x² + 1)/(x − 1), u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, donc f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². En x = 3, cela fait 2/4 = 1/2. En dérivant encore, le numérateur de la dérivée seconde contient un facteur (x − 1) qui s'annule, ce qui donne f″(x) = 4/(x − 1)³ : le calculateur simplifie ces facteurs pour que les dérivées d'ordre supérieur gardent leur forme courte.

Comment votre saisie est lue

• Multiplication. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) et x sin x se multiplient. Un nombre seul ne peut pas suivre une lettre ou une parenthèse (x2 est refusé, il n'est pas deviné) : écrivez x*2 ou 2x.
• Division. La multiplication implicite a la même priorité que * et /, de gauche à droite, donc 1/2x signifie (1/2)·x. Écrivez 1/(2x) pour l'autre lecture. La ligne « Lu comme » montre exactement ce qui a été compris.
• Puissances. -x^2 vaut −(x²), 2^-x vaut 2 élevé à −x, et a^b^c vaut a^(b^c). sin^2(x) signifie (sin x)². sin^-1(x) est refusé car ambigu : saisissez asin(x) ou 1/sin(x).
• Fonctions sans parenthèses. sin x, ln x^2 (c'est-à-dire le logarithme de x²) et sin 2x prennent un seul argument simple ; sin x (x+1) est sin(x) multiplié par (x+1).
• Noms. Les variables sont des lettres seules, e est le nombre d'Euler, pi ou π vaut π, exp(x) est eˣ, ln est le logarithme népérien et log le logarithme en base 10. log(x, 2) est le logarithme en base 2. Les angles sont en radians.

À garder en tête

Les résultats sont simplifiés vers une forme conventionnelle (termes semblables réunis, polynômes développés, facteurs communs mis en évidence, et facteurs communs annulés entre numérateur et dénominateur), mais une réponse d'apparence différente peut rester correcte. Vérifiez en évaluant les deux en un point. Annuler un facteur comme (x − 1) peut élargir discrètement le domaine en x = 1, comme dans tout système de calcul formel ; une dérivée n'est donc affirmée que là où la fonction d'origine est définie.

La dérivée de |u| vaut u·u′/|u|, qui n'existe pas là où u = 0 ; le graphe montre le coin. L'outil dérive des fonctions explicites d'une variable choisie en traitant les autres lettres comme des constantes (c'est ainsi que l'on calcule une dérivée partielle) ; il ne fait pas de dérivation implicite.

Questions fréquentes

Comment trouver une dérivée pas à pas ?

Repérez la structure extérieure de l'expression et appliquez la règle correspondante : décomposez les sommes terme par terme, sortez les facteurs constants, utilisez la règle du produit ou du quotient lorsque deux parties dépendent toutes deux de la variable, et la règle de la chaîne lorsqu'une fonction contient autre chose que x. Recommencez ensuite sur chaque morceau. Le calcul ci-dessus suit exactement cet ordre, de l'extérieur vers l'intérieur.

Quand utiliser la règle de la chaîne, et quand la règle du produit ?

Utilisez la règle du produit lorsque deux facteurs multipliés dépendent tous deux de x, comme dans x² sin x. Utilisez la règle de la chaîne lorsqu'une fonction est à l'intérieur d'une autre, comme dans sin(x²) ou e^(3x). Beaucoup de problèmes demandent les deux, comme x² sin(3x).

À quoi sert la dérivée seconde ?

C'est la dérivée de la dérivée : elle mesure à quelle vitesse la pente elle-même varie. Une dérivée seconde positive signifie que la courbe est concave vers le haut (en forme de coupelle) ; une dérivée seconde négative, concave vers le bas. En un point où f′ = 0, le signe de f″ distingue un maximum d'un minimum.

Puis-je calculer une dérivée partielle ?

Oui, au sens qui compte pour le calcul. Saisissez la fonction avec plusieurs lettres, comme x^2 y + sin(y x), et choisissez la variable par rapport à laquelle dériver ; les autres lettres sont maintenues constantes. Le graphe est masqué pour les fonctions de plusieurs variables.

Pourquoi la dérivée de |x| n'est-elle pas définie en 0 ?

Le graphe de |x| présente un angle vif à l'origine : la pente vaut −1 juste à gauche et +1 juste à droite, il n'existe donc pas de tangente unique. Loin de 0, la dérivée vaut x/|x|, soit −1 pour x négatif et +1 pour x positif.

log est-il le logarithme népérien ou le logarithme en base 10 ?

Ici log est le logarithme en base 10, comme sur une calculatrice scientifique, et ln est le logarithme népérien ; les manuels ne s'accordent pas toujours là-dessus, vérifiez donc le vôtre. Pour toute autre base, saisissez log(x, b). La dérivée de log(x) est 1/(x ln 10), et celle de ln(x) est 1/x.

Pourquoi ma réponse diffère-t-elle de celle du manuel ?

Des expressions équivalentes peuvent s'écrire de bien des façons : (x + 1)eˣ et xeˣ + eˣ sont la même fonction. Si la forme diffère, évaluez les deux en un ou deux points (les valeurs au point choisi le permettent) plutôt que de supposer qu'une des deux est fausse.