Afgeleidecalculator

Resultaten

Gelezen als: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Zo gebruik je de afgeleidecalculator

1. 1. Typ de functie. Schrijf haar zoals je dat op papier zou doen: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). Vermenigvuldigen mag je weglaten tussen een getal of letter en wat erop volgt, dus 2x en x sin x werken.
2. 2. Kies de variabele en de orde. De afgeleide wordt genomen naar x, tenzij je een andere letter kiest; alle andere letters worden als constante behandeld. Orde 2 geeft de tweede afgeleide, en zo tot en met 5.
3. 3. Voeg een punt toe als je een getal wilt. Vul 2, -1.5 of pi/4 in om de functie en haar afgeleide op dat punt te laten berekenen, exact waar de algebra dat toelaat (1/2, 2sin(1) + cos(1)) en als decimaal getal.
4. 4. Lees de uitwerking. Eerst verschijnt het antwoord, dan elke afgeleide tot de orde die je koos, en daarna één regel per deelexpressie met de gebruikte regel en de afgeleide die die opleverde.

De regels die de calculator toepast

Uitgewerkte voorbeelden

Product- en kettingregel samen. Voor f(x) = x² sin(x) geeft de productregel met u = x² en v = sin x: u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. Bij x = 1 is dat 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Voor f(x) = sin(x²) is de buitenste functie de sinus en is het binnenste u = x², dus f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Quotiëntregel, dan hogere orden. Voor f(x) = (x² + 1)/(x − 1) geldt u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, dus f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Bij x = 3 is dat 2/4 = 1/2. Als je opnieuw differentieert, heeft de teller van de tweede afgeleide een factor (x − 1) die wegvalt, zodat f″(x) = 4/(x − 1)³ overblijft — de calculator heft zulke factoren op, zodat hogere afgeleiden in hun korte vorm verschijnen.

Hoe je invoer wordt gelezen

• Vermenigvuldigen. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) en x sin x worden vermenigvuldigd. Een los getal mag niet achter een letter of haakje staan (x2 wordt geweigerd, niet geraden): schrijf x*2 of 2x.
• Delen. Impliciet vermenigvuldigen heeft dezelfde rang als * en /, van links naar rechts, dus 1/2x betekent (1/2)·x. Schrijf 1/(2x) voor de andere lezing. De regel “Gelezen als” toont precies wat is begrepen.
• Machten. -x^2 is −(x²), 2^-x is 2 tot de macht −x, en a^b^c is a^(b^c). sin^2(x) betekent (sin x)². sin^-1(x) wordt geweigerd als dubbelzinnig — typ asin(x) of 1/sin(x).
• Functies zonder haakjes. sin x, ln x^2 (dat is ln van x²) en sin 2x nemen één eenvoudig argument; sin x (x+1) is sin(x) maal (x+1).
• Namen. Variabelen zijn enkele letters, e is het getal van Euler, pi of π is π, exp(x) is eˣ, ln is de natuurlijke logaritme en log is de logaritme met grondtal 10. log(x, 2) is de logaritme met grondtal 2. Hoeken zijn in radialen.

Waar je op moet letten

Resultaten worden vereenvoudigd tot een gebruikelijke vorm — gelijksoortige termen samengevoegd, veeltermen uitgewerkt, gedeelde factoren buiten haakjes gehaald en gemeenschappelijke factoren tussen teller en noemer weggeschrapt — maar een antwoord dat er anders uitziet, kan nog steeds juist zijn. Controleer door beide te evalueren in een punt. Het wegstrepen van een factor als (x − 1) kan het domein bij x = 1 stilletjes verbreden, zoals in elk algebraprogramma, dus een afgeleide wordt alleen opgegeven waar de oorspronkelijke functie is gedefinieerd.

De afgeleide van |u| is u·u′/|u|, die niet bestaat waar u = 0; de grafiek toont de hoek. Het hulpmiddel differentieert expliciete functies van één gekozen variabele en behandelt andere letters als constanten (zo wordt een partiële afgeleide berekend); het doet geen impliciete differentiatie.

Veelgestelde vragen

Hoe vind je een afgeleide stap voor stap?

Bepaal de buitenste structuur van de uitdrukking en pas de passende regel toe: splits sommen term voor term, haal constante factoren buiten haakjes, gebruik de productregel of quotiëntregel wanneer twee delen allebei de variabele bevatten, en de kettingregel wanneer een functie iets anders dan x als argument heeft. Herhaal daarna op elk deel. De uitwerking hierboven volgt precies die volgorde, van buiten naar binnen.

Wanneer gebruik ik de kettingregel en wanneer de productregel?

Gebruik de productregel wanneer twee factoren die met elkaar vermenigvuldigd worden allebei van x afhangen, zoals x² sin x. Gebruik de kettingregel wanneer de ene functie binnen een andere zit, zoals sin(x²) of e^(3x). Veel opgaven hebben beide nodig, zoals x² sin(3x).

Waarvoor gebruik je de tweede afgeleide?

Het is de afgeleide van de afgeleide, dus het meet hoe snel de helling zelf verandert. Een positieve tweede afgeleide betekent dat de grafiek concaaf omhoog is (als een kom); een negatieve betekent concaaf omlaag. In een punt waar f′ = 0 is, onderscheidt het teken van f″ een maximum van een minimum.

Kan ik een partiële afgeleide berekenen?

Ja, in de zin die telt voor het berekenen ervan. Typ de functie met meerdere letters, zoals x^2 y + sin(y x), en kies de variabele waarnaar je differentieert; de andere letters worden constant gehouden. De grafiek is verborgen voor functies van meer dan één variabele.

Waarom bestaat de afgeleide van |x| niet in 0?

De grafiek van |x| heeft een scherpe hoek in de oorsprong: de helling is −1 net links en +1 net rechts, dus er is geen enkele raaklijn. Buiten 0 is de afgeleide x/|x|, wat −1 is voor negatieve x en +1 voor positieve x.

Is log de natuurlijke logaritme of de logaritme met grondtal 10?

Hier is log de logaritme met grondtal 10, zoals op een wetenschappelijke rekenmachine, en ln is de natuurlijke logaritme. Vakken verschillen hierin, dus controleer je handboek. Voor een ander grondtal typ je log(x, b). De afgeleide van log(x) is 1/(x ln 10), en die van ln(x) is 1/x.

Waarom ziet mijn antwoord er anders uit dan dat in het handboek?

Gelijkwaardige uitdrukkingen kun je op veel manieren schrijven: (x + 1)eˣ en xeˣ + eˣ zijn dezelfde functie. Als de vorm verschilt, evalueer dan beide in een of twee punten — de waarden in het punt dat je koos laten je dat doen — in plaats van aan te nemen dat één van beide fout is.