Kalkulator Turunan

Hasil

Dibaca sebagai: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Cara Menggunakan Kalkulator Turunan

1. 1. Ketik fungsinya. Tulis seperti di atas kertas: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). Tanda perkalian boleh dihilangkan antara angka atau huruf dan apa pun yang mengikutinya, sehingga 2x dan x sin x berfungsi.
2. 2. Pilih variabel dan orde. Turunan diambil terhadap x kecuali Anda memilih huruf lain; setiap huruf lainnya diperlakukan sebagai konstanta. Orde 2 memberikan turunan kedua, dan seterusnya hingga 5.
3. 3. Tambahkan titik jika Anda ingin angka. Masukkan 2, -1.5, atau pi/4 untuk mendapatkan fungsi dan turunannya dihitung di titik itu, tepat di tempat aljabar memungkinkan (1/2, 2sin(1) + cos(1)) dan sebagai desimal.
4. 4. Baca langkah perhitungannya. Jawaban muncul lebih dulu, lalu setiap turunan hingga orde yang Anda pilih, lalu satu baris untuk setiap subekspresi yang menyebutkan aturan yang dipakai dan turunan yang dihasilkannya.

Aturan yang Diterapkan Kalkulator

Contoh Kasus

Aturan hasil kali dan rantai bersama-sama. Untuk f(x) = x² sin(x), aturan hasil kali dengan u = x² dan v = sin x memberikan u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. Pada x = 1 hasilnya 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Untuk f(x) = sin(x²), fungsi luarnya adalah sinus dan bagian dalamnya u = x², sehingga f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Aturan hasil bagi, lalu orde yang lebih tinggi. Untuk f(x) = (x² + 1)/(x − 1), u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, sehingga f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Pada x = 3 hasilnya 2/4 = 1/2. Jika diturunkan lagi, pembilang turunan kedua memiliki faktor (x − 1) yang saling menghapus, menyisakan f″(x) = 4/(x − 1)³ — kalkulator menghapus faktor seperti itu sehingga turunan tingkat tinggi tampil dalam bentuk ringkasnya.

Cara Membaca Masukan Anda

• Perkalian. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1), dan x sin x dikalikan. Bilangan tunggal tidak boleh mengikuti huruf atau tanda kurung (x2 ditolak, tidak ditebak): tulis x*2 atau 2x.
• Pembagian. Perkalian tersirat setara dengan * dan /, dibaca dari kiri ke kanan, sehingga 1/2x berarti (1/2)·x. Tulis 1/(2x) untuk pembacaan yang lain. Baris “Dibaca sebagai” menunjukkan persis apa yang dipahami.
• Pangkat. -x^2 berarti −(x²), 2^-x berarti 2 pangkat −x, dan a^b^c berarti a^(b^c). sin^2(x) berarti (sin x)². sin^-1(x) ditolak karena ambigu — ketik asin(x) atau 1/sin(x).
• Fungsi tanpa tanda kurung. sin x, ln x^2 (yakni ln dari x²), dan sin 2x menerima satu argumen sederhana; sin x (x+1) berarti sin(x) dikali (x+1).
• Nama. Variabel berupa huruf tunggal, e adalah bilangan Euler, pi atau π adalah π, exp(x) adalah eˣ, ln adalah logaritma natural, dan log adalah basis 10. log(x, 2) adalah logaritma basis 2. Sudut dinyatakan dalam radian.

Hal yang Perlu Diingat

Hasil disederhanakan ke bentuk yang lazim — suku sejenis digabung, polinom diuraikan, faktor bersama dikeluarkan, dan faktor persekutuan dihapus antara pembilang dan penyebut — tetapi jawaban yang tampak berbeda masih bisa benar. Periksa dengan menghitung keduanya pada suatu titik. Menghapus faktor seperti (x − 1) bisa diam-diam memperluas domain di x = 1, seperti pada sistem aljabar mana pun, sehingga turunan hanya diklaim di tempat fungsi asalnya terdefinisi.

Turunan dari |u| adalah u·u′/|u|, yang tidak ada di tempat u = 0; grafik menunjukkan sudut di sana. Alat ini menurunkan fungsi eksplisit dari satu variabel yang dipilih, dengan memperlakukan huruf lain sebagai konstanta (cara turunan parsial dihitung); alat ini tidak melakukan diferensiasi implisit.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Bagaimana cara mencari turunan langkah demi langkah?

Identifikasi struktur terluar dari ekspresi dan terapkan aturan yang sesuai: pisahkan penjumlahan suku demi suku, keluarkan faktor konstanta, gunakan aturan hasil kali atau hasil bagi jika dua bagian yang keduanya bergantung pada variabel, dan aturan rantai jika suatu fungsi memiliki sesuatu selain x di dalamnya. Lalu ulangi pada setiap bagian. Langkah perhitungan di atas mengikuti urutan itu persis, dari yang paling luar.

Kapan saya memakai aturan rantai, dan kapan aturan hasil kali?

Pakai aturan hasil kali ketika dua faktor yang dikalikan bersama-sama keduanya bergantung pada x, seperti x² sin x. Pakai aturan rantai ketika satu fungsi berada di dalam fungsi lain, seperti sin(x²) atau e^(3x). Banyak soal memerlukan keduanya, seperti x² sin(3x).

Untuk apa turunan kedua digunakan?

Turunan kedua adalah turunan dari turunan, sehingga ia mengukur seberapa cepat kemiringan itu sendiri berubah. Turunan kedua yang positif berarti grafiknya cekung ke atas (melengkung seperti cangkir); yang negatif berarti cekung ke bawah. Pada titik tempat f′ = 0, tanda f″ menentukan apakah itu maksimum atau minimum.

Bisakah saya menghitung turunan parsial?

Bisa, dalam arti yang penting untuk perhitungan. Ketik fungsinya dengan beberapa huruf, misalnya x^2 y + sin(y x), dan pilih variabel yang akan diturunkan; huruf lainnya dianggap konstan. Grafik disembunyikan untuk fungsi dengan lebih dari satu variabel.

Mengapa turunan dari |x| tidak terdefinisi di 0?

Grafik |x| memiliki sudut tajam di titik asal: kemiringannya −1 tepat di sebelah kiri dan +1 tepat di sebelah kanan, sehingga tidak ada satu garis singgung. Di luar 0, turunannya adalah x/|x|, yang bernilai −1 untuk x negatif dan +1 untuk x positif.

Apakah log adalah logaritma natural atau basis 10?

Di sini log adalah basis 10, seperti pada kalkulator ilmiah, dan ln adalah logaritma natural. Buku dan pengajar berbeda dalam hal ini, jadi periksa buku pelajaran Anda. Untuk basis lain, ketik log(x, b). Turunan dari log(x) adalah 1/(x ln 10), dan dari ln(x) adalah 1/x.

Mengapa jawaban saya terlihat berbeda dari buku teks?

Ekspresi yang setara bisa ditulis dalam banyak cara: (x + 1)eˣ dan xeˣ + eˣ adalah fungsi yang sama. Jika bentuknya berbeda, hitung keduanya pada satu atau dua titik — nilai pada titik yang Anda pilih memungkinkan Anda melakukannya — daripada menganggap salah satunya keliru.