단계별로 도함수를 구하려면 어떻게 하나요?

식에서 가장 바깥쪽 구조를 찾아 맞는 법칙을 적용하세요. 합은 항마다 나누고, 상수 인수는 밖으로 빼내며, 두 부분이 모두 변수를 포함하면 곱이나 몫의 법칙을, x 이외의 것이 안에 들어 있으면 연쇄 법칙을 씁니다. 그다음 각 조각에 대해 같은 과정을 반복하세요. 위의 풀이도 바깥쪽부터 이 순서를 따릅니다.

연쇄 법칙과 곱의 법칙은 언제 쓰나요?

x² sin x처럼 곱해진 두 인수가 모두 x에 의존하면 곱의 법칙을 씁니다. sin(x²)나 e^(3x)처럼 한 함수가 다른 함수 안에 들어 있으면 연쇄 법칙을 씁니다. x² sin(3x)처럼 둘 다 필요한 문제도 많습니다.

이계 도함수는 무엇에 쓰나요?

도함수의 도함수이며, 기울기 자체가 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. 이계 도함수가 양수이면 그래프는 아래로 볼록(컵처럼 휘어짐)하고, 음수이면 위로 볼록합니다. f′ = 0인 점에서는 f″의 부호로 극댓값과 극솟값을 구별할 수 있습니다.

편도함수도 구할 수 있나요?

계산에 필요한 의미에서는 가능합니다. x^2 y + sin(y x)처럼 여러 문자를 포함한 함수를 입력하고, 미분할 변수를 고르세요. 나머지 문자는 상수로 유지됩니다. 변수가 둘 이상인 함수에서는 그래프가 숨겨집니다.

|x|의 도함수는 0에서 왜 정의되지 않나요?

|x|의 그래프는 원점에서 날카로운 모서리를 가집니다. 왼쪽에서는 기울기가 −1이고 오른쪽에서는 +1이어서, 접선이 하나로 정해지지 않습니다. 0이 아닌 곳에서 도함수는 x/|x|이며, x가 음수이면 −1, 양수이면 +1입니다.

log는 자연로그인가요, 밑이 10인 로그인가요?

여기서 log는 공학용 계산기처럼 밑이 10이고, ln은 자연로그입니다. 분야마다 다르게 쓰이므로 교과서를 확인하세요. 다른 밑은 log(x, b)로 입력하세요. log(x)의 도함수는 1/(x ln 10), ln(x)의 도함수는 1/x입니다.

제 답이 교과서와 다른 모양인 이유는 무엇인가요?

같은 식도 여러 가지로 쓸 수 있습니다. (x + 1)eˣ와 xeˣ + eˣ는 같은 함수입니다. 형태가 다르다면 하나가 틀렸다고 가정하지 말고, 선택한 점에서 두세 번 값을 계산해 비교하세요. 입력한 점의 값을 보면 확인할 수 있습니다.

도함수 계산기

함수를 입력하면 도함수를 기호적으로 구해 드립니다. 결과는 간단히 정리되고, 각 단계마다 법칙(거듭제곱, 곱, 몫, 연쇄, 지수)의 이름이 붙습니다. 다섯 번째 도함수까지, 원하는 점에서의 값, 함수와 도함수를 나란히 그린 그래프도 제공합니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이루어집니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.

미분할 함수

+ − * / ^와 괄호를 사용하세요. 2x, x sin x, (x+1)(x−1)은 곱셈으로 읽습니다. 함수: sin, cos, tan, sec, csc, cot, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log(밑 10), sqrt, abs. 상수: pi와 e. 소수는 점(.)으로 씁니다.

도함수의 차수

x = 에서의 값 (선택)

2, −1.5 또는 pi/4 같은 수나 상수.

x = 부터

x = 까지

결과

해석: $f (x) = x^{2} \sin (x)$

도함수

f^{'} (x) = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)

x = 1에서

sin(1) ≈ 0.84147098

f(x)

2sin(1) + cos(1) ≈ 2.2232443

f′(x)

단계별 풀이

각 줄은 식의 한 부분을 미분하며, 바깥쪽부터 차례로 보여 주고 사용한 법칙을 적습니다.

곱의 법칙
(uv)′ = u′v + uv′, 여기서 u = x², v = sin(x)입니다. 여기서 u′ = 2x, v′ = cos(x)입니다.
d/dx[x² sin(x)] = 2x sin(x) + x² cos(x)
거듭제곱 법칙
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, 여기서 n = 2입니다. 지수를 앞으로 내리고 1을 뺍니다.
d/dx[x²] = 2x
표준 도함수
sin(x)의 표준 도함수는 cos(x)입니다.
d/dx[sin(x)] = cos(x)

그래프

f(x) (함수)
f′(x) (도함수)

도함수 계산기 사용 방법

1. 함수를 입력하세요. 종이에 쓰듯이 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2)처럼 쓰면 됩니다. 숫자나 문자와 그 뒤에 오는 항 사이의 곱셈 기호는 생략할 수 있어서 2x와 x sin x도 입력할 수 있습니다.
2. 변수와 차수를 고르세요. 다른 문자를 고르지 않으면 x에 대해 미분하며, 나머지 문자는 모두 상수로 취급합니다. 차수를 2로 고르면 이계 도함수가 되고, 5까지 같은 방식으로 이어집니다.
3. 값이 필요하면 점을 입력하세요. 2, -1.5, pi/4를 입력하면 함수와 도함수를 그 점에서 계산합니다. 가능한 경우에는 정확한 식(1/2, 2sin(1) + cos(1))으로, 그리고 소수로도 보여 줍니다.
4. 풀이를 읽으세요. 답이 먼저 나오고, 고른 차수까지의 모든 도함수가 이어지며, 그다음에는 부분식마다 한 줄씩 사용한 법칙과 그로부터 나온 도함수가 나옵니다.

계산기가 적용하는 법칙

법칙	공식	예시
상수배	(c·g)′ = c·g′	(5x³)′ = 15x²
합	(f + g)′ = f′ + g′	(x² + sin x)′ = 2x + cos x
거듭제곱	(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹	(x⁵)′ = 5x⁴, (√x)′ = 1/(2√x)
곱	(uv)′ = u′v + uv′	(x² sin x)′ = 2x sin x + x² cos x
몫	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²	(sin x / x)′ = (x cos x − sin x)/x²
연쇄	(f(u))′ = f′(u)·u′	(sin x²)′ = 2x cos x²
지수	(aᵘ)′ = aᵘ·ln a·u′	(2ˣ)′ = 2ˣ ln 2, (e^(−x²))′ = −2x e^(−x²)
일반 거듭제곱	(uᵛ)′ = uᵛ(v′ ln u + v u′/u)	(xˣ)′ = xˣ(ln x + 1)

계산기가 아는 표준 도함수: sin, cos, tan, sec, csc, cot, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, ln, log(밑 10), sqrt, abs.

실제 예시

곱의 법칙과 연쇄 법칙을 함께 쓰기. f(x) = x² sin(x)에서 u = x², v = sin x로 두면 곱의 법칙으로 u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x를 얻습니다. x = 1에서는 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2.2232443입니다. f(x) = sin(x²)의 바깥 함수는 사인이고 안쪽은 u = x²이므로, f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²)입니다.

몫의 법칙, 그리고 고계 도함수. f(x) = (x² + 1)/(x − 1)에서 u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1이므로 f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²입니다. x = 3에서는 2/4 = 1/2입니다. 한 번 더 미분하면 두 번째 도함수의 분자에 약분되는 (x − 1) 인수가 있어서 f″(x) = 4/(x − 1)³만 남습니다. 계산기는 이런 인수를 약분하므로 고계 도함수도 짧은 형태로 나옵니다.

입력 방식 이해하기

곱셈. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1), x sin x는 모두 곱셈으로 읽습니다. 문자나 괄호 뒤에 숫자만 바로 올 수는 없습니다(x2는 추측하지 않고 거부합니다). x*2 또는 2x로 쓰세요.
나눗셈. 생략된 곱셈은 *, /와 같은 우선순위로 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하므로, 1/2x는 (1/2)·x를 뜻합니다. 다른 뜻을 원하면 1/(2x)로 쓰세요. ‘해석’ 줄에 이해한 내용이 정확히 표시됩니다.
거듭제곱. -x^2는 −(x²), 2^-x는 2의 −x제곱, a^b^c는 a^(b^c)입니다. sin^2(x)는 (sin x)²를 뜻합니다. sin^-1(x)는 모호하므로 거부합니다. asin(x) 또는 1/sin(x)로 쓰세요.
괄호 없는 함수. sin x, ln x^2(x²의 ln), sin 2x는 간단한 인수 하나를 받습니다. sin x (x+1)은 sin(x)에 (x+1)을 곱한 것입니다.
이름. 변수는 한 글자입니다. e는 오일러 수, pi 또는 π는 원주율, exp(x)는 eˣ, ln은 자연로그, log는 밑이 10인 로그입니다. log(x, 2)는 밑이 2인 로그입니다. 각은 라디안으로 계산합니다.

유의할 점

결과는 관례적인 형태로 정리됩니다. 같은 차수의 항을 합치고, 다항식을 전개하고, 공통 인수를 묶고, 분자와 분모의 공통 인수를 약분합니다. 그래도 다르게 보이는 답이 맞을 수 있으니, 한 점에서 두 식의 값을 계산해 비교하세요. (x − 1) 같은 인수를 약분하면 어떤 대수 프로그램에서처럼 x = 1에서 정의역이 조용히 넓어질 수 있으므로, 도함수는 원래 함수가 정의된 곳에서만 제시합니다.

|u|의 도함수는 u·u′/|u|이며, u = 0인 곳에서는 존재하지 않습니다. 그래프에서는 모서리로 보입니다. 이 도구는 명시적 함수를 선택한 한 변수에 대해 미분하고 나머지 문자는 상수로 취급합니다(편미분을 구하는 방식과 같습니다). 음함수 미분은 하지 않습니다.

자주 묻는 질문

단계별로 도함수를 구하려면 어떻게 하나요?: 식에서 가장 바깥쪽 구조를 찾아 맞는 법칙을 적용하세요. 합은 항마다 나누고, 상수 인수는 밖으로 빼내며, 두 부분이 모두 변수를 포함하면 곱이나 몫의 법칙을, x 이외의 것이 안에 들어 있으면 연쇄 법칙을 씁니다. 그다음 각 조각에 대해 같은 과정을 반복하세요. 위의 풀이도 바깥쪽부터 이 순서를 따릅니다.
연쇄 법칙과 곱의 법칙은 언제 쓰나요?: x² sin x처럼 곱해진 두 인수가 모두 x에 의존하면 곱의 법칙을 씁니다. sin(x²)나 e^(3x)처럼 한 함수가 다른 함수 안에 들어 있으면 연쇄 법칙을 씁니다. x² sin(3x)처럼 둘 다 필요한 문제도 많습니다.
이계 도함수는 무엇에 쓰나요?: 도함수의 도함수이며, 기울기 자체가 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. 이계 도함수가 양수이면 그래프는 아래로 볼록(컵처럼 휘어짐)하고, 음수이면 위로 볼록합니다. f′ = 0인 점에서는 f″의 부호로 극댓값과 극솟값을 구별할 수 있습니다.
편도함수도 구할 수 있나요?: 계산에 필요한 의미에서는 가능합니다. x^2 y + sin(y x)처럼 여러 문자를 포함한 함수를 입력하고, 미분할 변수를 고르세요. 나머지 문자는 상수로 유지됩니다. 변수가 둘 이상인 함수에서는 그래프가 숨겨집니다.
|x|의 도함수는 0에서 왜 정의되지 않나요?: |x|의 그래프는 원점에서 날카로운 모서리를 가집니다. 왼쪽에서는 기울기가 −1이고 오른쪽에서는 +1이어서, 접선이 하나로 정해지지 않습니다. 0이 아닌 곳에서 도함수는 x/|x|이며, x가 음수이면 −1, 양수이면 +1입니다.
log는 자연로그인가요, 밑이 10인 로그인가요?: 여기서 log는 공학용 계산기처럼 밑이 10이고, ln은 자연로그입니다. 분야마다 다르게 쓰이므로 교과서를 확인하세요. 다른 밑은 log(x, b)로 입력하세요. log(x)의 도함수는 1/(x ln 10), ln(x)의 도함수는 1/x입니다.
제 답이 교과서와 다른 모양인 이유는 무엇인가요?: 같은 식도 여러 가지로 쓸 수 있습니다. (x + 1)eˣ와 xeˣ + eˣ는 같은 함수입니다. 형태가 다르다면 하나가 틀렸다고 가정하지 말고, 선택한 점에서 두세 번 값을 계산해 비교하세요. 입력한 점의 값을 보면 확인할 수 있습니다.