평균 변화율은 어떻게 구하나요?

두 끝점의 함숫값 차이를 입력값의 차이로 나눕니다. (f(b) − f(a))/(b − a). 표라면 두 x 값에서 y 값을 읽고 같은 방식으로 계산하세요.

평균 변화율이 음수면 무슨 뜻인가요?

구간 전체에서 출력값이 줄었다는 뜻입니다. 할선이 아래로 기울어 있습니다. 중간에 무슨 일이 있었는지는 알려 주지 않습니다. 함수가 먼저 올랐다가 더 많이 떨어졌을 수도 있기 때문입니다.

직선의 기울기와는 어떻게 다른가요?

직선의 경우 평균 변화율은 어떤 구간에서나 같고 기울기와 같습니다. 곡선에서는 고른 구간에 따라 달라지므로, 순간 변화율(도함수)이라는 개념이 필요합니다.

단위는 어떻게 넣나요?

변화율의 단위는 y의 단위를 x의 단위로 나눈 것입니다. y가 거리(미터)이고 x가 시간(초)이면 변화율은 초당 미터입니다. 계산기에 두 단위를 입력하면 그 문장을 대신 정리해 줍니다.

이 맥락에서 평균값 정리는 무엇인가요?

f가 [a, b]에서 연속이고 그 사이에서 미분 가능하면, (a, b) 안의 어떤 점 c에서 순간 변화율 f′(c)가 [a, b]의 평균 변화율과 같습니다. 즉 c에서의 접선이 할선과 평행합니다. 계산기는 그런 점을 수치적으로 찾아 접선 하나를 그려 줍니다.

간격이 일정하지 않은 데이터에도 쓸 수 있나요?

네. 고른 두 x 값 사이의 변화율은 데이터에 대해 정확하며, 연속 변화율 표는 각 행이 자기 Δx로 나누므로 간격이 서로 달라도 처리됩니다.

평균 변화율 계산기

함수 또는 데이터 표와 두 x 값을 입력하면 두 점 사이의 평균 변화율, 즉 할선의 기울기를 구합니다. Δy와 Δx, 할선의 방정식, 단위를 넣은 설명 문장(미터 매 초, 달러 매 년), 구간이 줄어들 때 순간 변화율에 가까워지는 과정을 보여 주는 표, 평균값 정리의 점까지 함께 나옵니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.

데이터 형식

함수 f(x)

+ − * / ^와 괄호를 쓰세요. 함수: sin, cos, tan, exp, ln, log(밑 10), sqrt, abs 등. 상수: pi와 e.

시작 x = a

끝 x = b

1, −2.5, pi/2 같은 수나 상수.

y의 단위(선택)

x의 단위(선택)

결과

평균 변화율

y의 변화량, Δy

x의 변화량, Δx

시작점의 y

끝점의 y

의미

x = 1에서 x = 3까지 x가 2만큼 변하는 동안 y는 8만큼 증가했습니다. x의 단위당 평균 변화율은 4입니다.

할선

y = 4 x - 3

평균 변화율은 (a, f(a))와 (b, f(b))를 지나는 할선의 기울기입니다.

구간 줄이기

h	구간	평균 변화율
1	[1, 2]	3
0.1	[1, 1.1]	2.1
0.01	[1, 1.01]	2.01
0.001	[1, 1.001]	2.001
0.0001	[1, 1.0001]	2.0001

구간 [a, a + h]의 평균 변화율은 h → 0일 때 순간 변화율 f′(1) = 2에 가까워집니다.

평균값 정리

a와 b 사이에는 순간 변화율 f′(c)가 이 평균 변화율과 같은 점 c가 있습니다: c ≈ 2.

그래프

y = f(x)
할선(기울기 4)
c에서 할선과 평행한 접선

평균 변화율 계산기 사용 방법

1. 함수 또는 표를 고르세요. 함수라면 x^2나 sin(x) 같은 f(x)를 입력하세요. 데이터라면 한 줄에 “x, y” 쌍 하나씩 붙여 넣으세요. x 값은 어떤 순서로 있어도 됩니다.
2. 구간을 입력하세요. 시작 a와 끝 b를 적으세요. 표의 경우 두 값 모두 데이터에 있는 x 값이어야 합니다.
3. 원하면 단위를 넣으세요. y의 단위(미터)와 x의 단위(초)를 쓰면 답이 “미터 매 초” 같은 문장으로 나옵니다.
4. 결과를 읽으세요. 변화율, Δy와 Δx, 할선, 그래프를 얻습니다. 함수라면 극한 표와 평균값 정리의 점도 볼 수 있습니다.

공식

f의 [a, b] 구간 평균 변화율은 (f(b) − f(a)) / (b − a)입니다. 출력의 변화량을 입력의 변화량으로 나눈 값입니다. 기하학적으로는 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 지나는 할선의 기울기입니다. f가 전체적으로 떨어지면 음수, 시작점과 같은 값으로 끝나면 0이며, f가 그 사이에서 오르내리더라도 어떤 구간에서든 계산할 수 있습니다.

실제 예시

함수. f(x) = x²를 [1, 3]에서 보면 f(1) = 1, f(3) = 9이므로 변화율은 (9 − 1)/(3 − 1) = 4이고, 할선은 y = 4x − 3입니다. x = 1에서 순간 변화율은 f′(1) = 2이며, [1, 1 + h] 구간의 평균 변화율은 h = 1일 때 3, h = 0.1일 때 2.1, h = 0.01일 때 2.01입니다. h가 줄어들수록 2에 가까워집니다. 평균값 정리는 (1, 3) 안에 f′(c) = 4인 점 c가 있음을 보장하며, 여기서 f′(x) = 2x이므로 c = 2입니다.

표. 정지 상태에서 떨어지는 공은 0, 1, 2, 3, 4초 뒤에 각각 0, 4.9, 19.6, 44.1, 78.4미터를 떨어집니다. t = 1에서 t = 3 사이에 거리는 4.9에서 44.1로 늘어나므로 평균 속력은 (44.1 − 4.9)/(3 − 1) = 초당 19.6미터입니다. 연속한 초 사이의 변화율은 4.9, 14.7, 24.5, 34.3 m/s로, 공이 가속하므로 계속 커집니다.

평균 변화율과 순간 변화율

평균 변화율은 구간 전체를 설명하고, 순간 변화율은 도함수로서 구간이 한 점으로 줄어들 때의 평균 변화율의 극한입니다. 평균 변화율이 하나의 수로 모여 간다면 그 수가 f′(a)입니다. 데이터 표만 있으면 그 극한은 구할 수 없지만, 측정 간격이 좁을수록 평균 변화율은 순간 변화율을 더 잘 추정합니다. 평균 변화율을 함수의 평균값, 즉 (1/(b − a))∫ f(x)dx와 혼동하지 마세요. 평균값은 그래프의 평균 높이이고, 평균 변화율은 평균 기울기입니다.

자주 묻는 질문

평균 변화율은 어떻게 구하나요?: 두 끝점의 함숫값 차이를 입력값의 차이로 나눕니다. (f(b) − f(a))/(b − a). 표라면 두 x 값에서 y 값을 읽고 같은 방식으로 계산하세요.
평균 변화율이 음수면 무슨 뜻인가요?: 구간 전체에서 출력값이 줄었다는 뜻입니다. 할선이 아래로 기울어 있습니다. 중간에 무슨 일이 있었는지는 알려 주지 않습니다. 함수가 먼저 올랐다가 더 많이 떨어졌을 수도 있기 때문입니다.
직선의 기울기와는 어떻게 다른가요?: 직선의 경우 평균 변화율은 어떤 구간에서나 같고 기울기와 같습니다. 곡선에서는 고른 구간에 따라 달라지므로, 순간 변화율(도함수)이라는 개념이 필요합니다.
단위는 어떻게 넣나요?: 변화율의 단위는 y의 단위를 x의 단위로 나눈 것입니다. y가 거리(미터)이고 x가 시간(초)이면 변화율은 초당 미터입니다. 계산기에 두 단위를 입력하면 그 문장을 대신 정리해 줍니다.
이 맥락에서 평균값 정리는 무엇인가요?: f가 [a, b]에서 연속이고 그 사이에서 미분 가능하면, (a, b) 안의 어떤 점 c에서 순간 변화율 f′(c)가 [a, b]의 평균 변화율과 같습니다. 즉 c에서의 접선이 할선과 평행합니다. 계산기는 그런 점을 수치적으로 찾아 접선 하나를 그려 줍니다.
간격이 일정하지 않은 데이터에도 쓸 수 있나요?: 네. 고른 두 x 값 사이의 변화율은 데이터에 대해 정확하며, 연속 변화율 표는 각 행이 자기 Δx로 나누므로 간격이 서로 달라도 처리됩니다.