كيف تجد متوسط معدل التغير؟

اطرح قيمتي الدالة عند الطرفين واقسم على فرق المدخلين: (f(b) − f(a))/(b − a). وللجدول، اقرأ قيمتي y عند قيمتي x وافعل الشيء نفسه.

ماذا يعني متوسط معدل تغير سالب؟

أن الناتج انخفض في مجموعه عبر الفترة، فالمستقيم القاطع يميل نحو الأسفل. ولا يخبرك ذلك شيئاً عمّا حدث بينهما، فقد ترتفع الدالة أولاً ثم تنخفض أكثر.

ما الفرق بينه وبين ميل المستقيم؟

في الخط المستقيم يكون متوسط معدل التغير واحداً على كل فترة ويساوي الميل. أما في المنحنى فيتوقف على الفترة المختارة، ولهذا نحتاج فكرة المعدل اللحظي (المشتقة).

كيف أُدرج الوحدات؟

وحدة المعدل هي وحدة y مقسومةً على وحدة x. فإذا كانت y مسافة بالمتر وx زمناً بالثانية، فالمعدل بالمتر في الثانية. اكتب الوحدتين في الحاسبة لتحصل على الجملة مكتوبةً لك.

ما نظرية القيمة المتوسطة في هذا السياق؟

إذا كانت f متصلة على [a, b] وقابلة للاشتقاق بينهما، فعند نقطة ما c في (a, b) يساوي المعدل اللحظي f′(c) متوسط المعدل على [a, b]: المماس عند c موازٍ للقاطع. تجد الحاسبة مثل هذه النقاط عددياً وترسم مماساً واحداً.

هل يمكن استخدامها مع بيانات غير منتظمة التباعد؟

نعم. فالمعدل بين أي قيمتي x تختارهما دقيق لبياناتك، وجدول المعدلات المتتالية يتعامل مع الفجوات غير المتساوية لأن كل صف يقسم على Δx الخاص به.

حاسبة متوسط معدل التغير

أدخل دالة أو جدول بيانات وقيمتين لـ x، واحصل على متوسط معدل التغير بينهما — ميل المستقيم القاطع — مع Δy وΔx ومعادلة المستقيم القاطع، وجملة بلغة بسيطة بوحداتك (متر لكل ثانية، دولار لكل سنة)، وجدولاً يبيّن اقتراب المعدل من المعدل اللحظي كلما تقلّصت الفترة، ونقطة نظرية القيمة المتوسطة. مجانية، دون تسجيل.

بياناتك هي

الدالة f(x)

استخدم + − * / ^ والأقواس. الدوال: sin وcos وtan وexp وln وlog (الأساس 10) وsqrt وabs وغيرها. الثوابت: pi وe.

البداية x = a

النهاية x = b

عدد أو ثابت مثل 1 أو −2.5 أو pi/2.

وحدة y (اختياري)

وحدة x (اختياري)

النتائج

متوسط معدل التغير

التغير في y، Δy

التغير في x، Δx

قيمة y عند البداية

قيمة y عند النهاية

ماذا يعني ذلك

من x = 1 إلى x = 3، y تزداد بمقدار 8 بينما يتغير x بمقدار 2: في المتوسط 4 لكل وحدة من x.

المستقيم القاطع

y = 4 x - 3

متوسط معدل التغير هو ميل المستقيم القاطع المار بالنقطتين (a, f(a)) و(b, f(b)).

تقليص الفترة

h	الفترة	متوسط المعدل
1	[1, 2]	3
0.1	[1, 1.1]	2.1
0.01	[1, 1.01]	2.01
0.001	[1, 1.001]	2.001
0.0001	[1, 1.0001]	2.0001

يقترب متوسط المعدل على [a, a + h] من المعدل اللحظي f′(1) = 2 عندما يتجه h إلى 0.

نظرية القيمة المتوسطة

توجد نقطة c بين a وb يساوي فيها المعدل اللحظي f′(c) متوسطَ المعدل هذا: c ≈ 2.

الرسم البياني

y = f(x)
المستقيم القاطع (ميله 4)
المماس الموازي للقاطع عند c

كيفية استخدام حاسبة متوسط معدل التغير

1. اختر الدالة أو الجدول. للدالة اكتب f(x)، مثل x^2 أو sin(x). وللبيانات، الصق زوجاً «x, y» في كل سطر؛ ويمكن أن تأتي قيم x بأي ترتيب.
2. أدخل الفترة. اكتب البداية a والنهاية b. وفي الجدول، يجب أن تكون القيمتان قيمتي x موجودتين في بياناتك.
3. أضف الوحدات إن أردت. اكتب وحدة y (متر) ووحدة x (ثانية) لتحصل على الجواب في جملة تتضمن «متر لكل ثانية».
4. اقرأ النتيجة. تحصل على المعدل وΔy وΔx والمستقيم القاطع ورسماً بيانياً. وللدالة ترى أيضاً جدول النهاية ونقطة نظرية القيمة المتوسطة.

الصيغة

متوسط معدل التغير للدالة f على [a, b] هو (f(b) − f(a)) / (b − a) — التغير في الناتج مقسوماً على التغير في المدخل، أي الارتفاع على المسافة الأفقية. هندسياً هو ميل المستقيم القاطع المار بالنقطتين (a, f(a)) و(b, f(b)). يكون سالباً إذا انخفضت f في مجموعها، وصفراً إذا انتهت حيث بدأت، ويمكن حسابه على أي فترة، حتى لو ارتفعت f وانخفضت بينهما.

أمثلة محلولة

دالة. من أجل f(x) = x² على [1, 3]: f(1) = 1 وf(3) = 9، فالمعدل (9 − 1)/(3 − 1) = 4، والمستقيم القاطع هو y = 4x − 3. المعدل اللحظي عند x = 1 هو f′(1) = 2، ومتوسطات المعدل على [1, 1 + h] هي 3 (عندما h = 1) و2.1 (عندما h = 0.1) و2.01 (عندما h = 0.01): تقترب من 2 كلما تقلّص h. وتضمن نظرية القيمة المتوسطة وجود نقطة c في (1, 3) تحقق f′(c) = 4؛ وهنا f′(x) = 2x، إذن c = 2.

جدول. كرة أُسقطت من السكون قطعت 0 و4.9 و19.6 و44.1 و78.4 متراً بعد 0 و1 و2 و3 و4 ثوانٍ. بين t = 1 وt = 3 ترتفع المسافة من 4.9 إلى 44.1، فمتوسط السرعة هو (44.1 − 4.9)/(3 − 1) = 19.6 متراً في الثانية. والمعدلات بين الثواني المتتالية هي 4.9 و14.7 و24.5 و34.3 م/ث، وتتزايد باطراد لأن الكرة تتسارع.

المعدل المتوسط مقابل المعدل اللحظي

متوسط المعدل يصف فترة كاملة؛ أما المعدل اللحظي فهو المشتقة، أي نهاية متوسط المعدل عندما تتقلّص الفترة إلى نقطة. وحيثما تستقر متوسطات المعدل نحو عدد واحد، فذلك العدد هو f′(a). وإذا كان لديك جدول بيانات فقط فلا يمكنك أخذ تلك النهاية، لكن كلما قلّت المسافة بين القياسات كان متوسط المعدل تقديراً أفضل للمعدل اللحظي. ولا تخلط بين متوسط معدل التغير والقيمة المتوسطة للدالة، (1/(b − a))∫ f(x)dx، وهي متوسط ارتفاع الرسم البياني لا متوسط ميله.

الأسئلة الشائعة

كيف تجد متوسط معدل التغير؟: اطرح قيمتي الدالة عند الطرفين واقسم على فرق المدخلين: (f(b) − f(a))/(b − a). وللجدول، اقرأ قيمتي y عند قيمتي x وافعل الشيء نفسه.
ماذا يعني متوسط معدل تغير سالب؟: أن الناتج انخفض في مجموعه عبر الفترة، فالمستقيم القاطع يميل نحو الأسفل. ولا يخبرك ذلك شيئاً عمّا حدث بينهما، فقد ترتفع الدالة أولاً ثم تنخفض أكثر.
ما الفرق بينه وبين ميل المستقيم؟: في الخط المستقيم يكون متوسط معدل التغير واحداً على كل فترة ويساوي الميل. أما في المنحنى فيتوقف على الفترة المختارة، ولهذا نحتاج فكرة المعدل اللحظي (المشتقة).
كيف أُدرج الوحدات؟: وحدة المعدل هي وحدة y مقسومةً على وحدة x. فإذا كانت y مسافة بالمتر وx زمناً بالثانية، فالمعدل بالمتر في الثانية. اكتب الوحدتين في الحاسبة لتحصل على الجملة مكتوبةً لك.
ما نظرية القيمة المتوسطة في هذا السياق؟: إذا كانت f متصلة على [a, b] وقابلة للاشتقاق بينهما، فعند نقطة ما c في (a, b) يساوي المعدل اللحظي f′(c) متوسط المعدل على [a, b]: المماس عند c موازٍ للقاطع. تجد الحاسبة مثل هذه النقاط عددياً وترسم مماساً واحداً.
هل يمكن استخدامها مع بيانات غير منتظمة التباعد؟: نعم. فالمعدل بين أي قيمتي x تختارهما دقيق لبياناتك، وجدول المعدلات المتتالية يتعامل مع الفجوات غير المتساوية لأن كل صف يقسم على Δx الخاص به.