Ortalama Değişim Oranı Hesaplayıcı
Bir fonksiyon ya da veri tablosu ve iki x değeri girin; aradaki ortalama değişim oranını, yani kesen doğrunun eğimini alın. Buna Δy ve Δx, kesen doğrunun denklemi, birimlerinizle birlikte açıklayıcı bir cümle (saniyede metre, yılda dolar), aralık küçüldükçe oranın anlık orana nasıl yaklaştığını gösteren bir tablo ve Ortalama Değer Teoremi noktası eklenir. Ücretsiz, kayıt gerekmez.
+ − * / ^ ve parantezleri kullanın. Fonksiyonlar: sin, cos, tan, exp, ln, log (10 tabanında), sqrt, abs ve daha fazlası. Sabitler: pi ve e.
1, −2,5 ya da pi/2 gibi bir sayı veya sabit.
Sonuçlar
4
Ortalama değişim oranı
8
y'deki değişim, Δy
2
x'teki değişim, Δx
1
Başlangıçtaki y
9
Bitişteki y
Ne anlama gelir
x = 1 ile x = 3 arasında, x 2 değişirken y 8 artar; ortalama olarak x'in birimi başına 4.
Kesen doğru
Ortalama değişim oranı, (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen kesen doğrunun eğimidir.
Aralığı küçültmek
| h | Aralık | Ortalama oran |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
[a, a + h] üzerindeki ortalama oran, h → 0 olduğunda f′(1) = 2 anlık oranına yaklaşır.
Ortalama Değer Teoremi
a ile b arasında, f′(c) değerinin bu ortalama orana eşit olduğu bir c noktası vardır: c ≈ 2.
Grafik
- y = f(x)
- Kesen doğru (eğim 4)
- Kesen doğruya paralel, c noktasında teğet
Ortalama Değişim Oranı Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Fonksiyon ya da tablo seçin. Bir fonksiyon için f(x) yazın, örneğin
x^2ya dasin(x). Veri için satır başına bir “x; y” çifti yapıştırın; x değerleri herhangi bir sırada olabilir. - 2. Aralığı girin. Başlangıç a ve bitiş b değerlerini verin. Tablo için ikisi de verilerinizde bulunan x değerleri olmalıdır.
- 3. İsterseniz birim ekleyin. y'nin birimini (metre) ve x'in birimini (saniye) yazın; sonuç “saniyede metre” ifadesiyle bir cümle olarak gelir.
- 4. Sonucu okuyun. Oranı, Δy ve Δx'i, kesen doğruyu ve bir grafiği alırsınız. Bir fonksiyon için ayrıca sınır tablosunu ve Ortalama Değer Teoremi noktasını görürsünüz.
Formül
f fonksiyonunun [a, b] üzerindeki ortalama değişim oranı (f(b) − f(a)) / (b − a) değeridir: çıktıdaki değişimin girdideki değişime bölümü, yani yükseliş bölü ilerleme. Geometrik olarak (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen kesen doğrunun eğimidir. f genel olarak düştüğünde negatif, başladığı yerde bittiğinde sıfırdır; aradaki bölümde f yükselip alçalsa bile herhangi bir aralık için hesaplanabilir.
Çalışılmış Örnekler
Bir fonksiyon. f(x) = x² ve [1, 3] için: f(1) = 1 ve f(3) = 9'dur; dolayısıyla oran (9 − 1)/(3 − 1) = 4 olur ve kesen doğru y = 4x − 3'tür. x = 1'deki anlık oran f′(1) = 2'dir; [1, 1 + h] üzerindeki ortalama oranlar h = 1 için 3, h = 0,1 için 2,1 ve h = 0,01 için 2,01'dir: h küçüldükçe 2'ye yaklaşırlar. Ortalama Değer Teoremi, (1, 3) aralığında f′(c) = 4 olan bir c noktasının varlığını garanti eder; burada f′(x) = 2x olduğundan c = 2'dir.
Bir tablo. Serbest bırakılan bir top için 0, 1, 2, 3 ve 4 saniye sonunda düşülen mesafeler sırasıyla 0; 4,9; 19,6; 44,1 ve 78,4 metredir. t = 1 ile t = 3 arasında mesafe 4,9'dan 44,1'e yükseldiğinden ortalama hız (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = saniyede 19,6 metre olur. Ardışık saniyeler arasındaki oranlar 4,9; 14,7; 24,5 ve 34,3 m/s'dir; top hızlandığı için sürekli artarlar.
Ortalama ile Anlık Oran
Ortalama oran bir aralığı anlatır; anlık oran ise türevdir, yani aralık bir noktaya küçüldükçe ortalama oranın limitidir. Ortalama oranların tek bir sayıya yerleştiği yerde o sayı f′(a)'dır. Yalnızca bir veri tablonuz varsa bu limiti alamazsınız, ama ölçümler arasındaki boşluk küçüldükçe ortalama oran anlık oranı daha iyi tahmin eder. Ortalama değişim oranını, bir fonksiyonun ortalama değeri (1/(b − a))∫ f(x)dx ile karıştırmayın; bu, grafiğin ortalama yüksekliğidir, ortalama eğimi değil.
Sık sorulan sorular
- Ortalama değişim oranı nasıl bulunur?
- Aralığın iki ucundaki fonksiyon değerlerini çıkarın ve girdilerin farkına bölün: (f(b) − f(a))/(b − a). Bir tablo için iki x değerindeki y değerlerini okuyun ve aynısını yapın.
- Ortalama değişim oranı negatif olursa ne anlama gelir?
- Aralık boyunca çıktının genel olarak azaldığı anlamına gelir: kesen doğru aşağı doğru eğimlidir. Aradaki durum hakkında bir şey söylemez; fonksiyon önce yükselmiş ve sonra daha fazla düşmüş olabilir.
- Bir doğrunun eğiminden farkı nedir?
- Düz bir doğru için ortalama değişim oranı her aralıkta aynıdır ve eğime eşittir. Bir eğri için ise seçilen aralığa bağlıdır; bu yüzden anlık oran (türev) kavramına ihtiyaç duyulur.
- Birimleri nasıl eklerim?
- Oranın birimleri, y'nin birimlerinin x'in birimlerine bölümüdür. Y mesafe metre, x zaman saniye ise oran saniyede metre olur. İki birimi hesaplayıcıya yazdığınızda sonucu sizin için cümle olarak yazılmış biçimde alırsınız.
- Ortalama Değer Teoremi bu bağlamda ne anlama gelir?
- f, [a, b] üzerinde sürekli ve aralığın içinde türevlenebilirse, (a, b) içinde bir c noktasında anlık oran f′(c), [a, b] üzerindeki ortalama orana eşittir: c'deki teğet kesen doğruya paraleldir. Hesaplayıcı bu tür noktaları sayısal olarak bulur ve bir teğet çizer.
- Eşit aralıklı olmayan verilerde kullanabilir miyim?
- Evet. Seçtiğiniz iki x değeri arasındaki oran verileriniz için kesindir ve ardışık oranlar tablosu eşit olmayan boşlukları da işler; çünkü her satır kendi Δx değerine böler.