Kalkulator średniego tempa zmian
Wpisz funkcję lub tabelę danych oraz dwie wartości x, a otrzymasz średnie tempo zmian między nimi — nachylenie siecznej — wraz z Δy i Δx, równaniem siecznej, zdaniem z Twoimi jednostkami (metry na sekundę, dolary na rok), tabelą pokazującą, jak tempo zbliża się do chwilowego, gdy przedział się kurczy, oraz punktem z twierdzenia o wartości średniej. Za darmo, bez rejestracji.
Używaj + − * / ^ i nawiasów. Funkcje: sin, cos, tan, exp, ln, log (o podstawie 10), sqrt, abs i inne. Stałe: pi i e.
Liczba lub stała, na przykład 1, −2,5 lub pi/2.
Wyniki
4
Średnie tempo zmian
8
Zmiana y, Δy
2
Zmiana x, Δx
1
y na początku
9
y na końcu
Co to znaczy
Od x = 1 do x = 3 y wzrasta o 8, gdy x zmienia się o 2: średnio 4 na jednostkę x.
Prosta sieczna
Średnie tempo zmian to nachylenie siecznej przechodzącej przez (a, f(a)) i (b, f(b)).
Kurczenie się przedziału
| h | Przedział | Średnie tempo |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
Średnie tempo na [a, a + h] zbliża się do chwilowego tempa f′(1) = 2, gdy h → 0.
Twierdzenie o wartości średniej
Istnieje punkt c między a i b, w którym chwilowe tempo f′(c) równa się temu średniemu tempu: c ≈ 2.
Wykres
- y = f(x)
- Sieczna (nachylenie 4)
- Styczna równoległa do siecznej w c
Jak korzystać z kalkulatora średniego tempa zmian
- 1. Wybierz funkcję lub tabelę. Dla funkcji wpisz f(x), na przykład
x^2lubsin(x). Dla danych wklej jedną parę „x, y” w wierszu (przy przecinkach dziesiętnych użyj średnika: „x; y”); wartości x mogą być w dowolnej kolejności. - 2. Podaj przedział. Wpisz początek a i koniec b. Dla tabeli obie wartości muszą być wartościami x, które występują w danych.
- 3. Dodaj jednostki, jeśli chcesz. Wpisz jednostkę y (metry) i jednostkę x (sekunda), aby otrzymać wynik jako zdanie z „metry na sekundę”.
- 4. Odczytaj wynik. Dostaniesz tempo, Δy i Δx, sieczną oraz wykres. Dla funkcji zobaczysz też tabelę granic i punkt z twierdzenia o wartości średniej.
Wzór
Średnie tempo zmian funkcji f na przedziale [a, b] to (f(b) − f(a)) / (b − a) — zmiana wartości wyjściowej podzielona przez zmianę wejściowej, czyli wzrost przez bieg (rise over run). Geometrycznie jest to nachylenie siecznej przechodzącej przez punkty (a, f(a)) i (b, f(b)). Jest ujemne, gdy f ogólnie maleje, zerowe, gdy f kończy się tam, gdzie zaczęła, i można je obliczyć na dowolnym przedziale, nawet takim, na którym f w środku najpierw rośnie, a potem maleje.
Przykłady obliczeń
Funkcja. Dla f(x) = x² na [1, 3]: f(1) = 1 i f(3) = 9, więc tempo wynosi (9 − 1)/(3 − 1) = 4, a sieczna to y = 4x − 3. Chwilowe tempo w x = 1 to f′(1) = 2, a średnie tempa na [1, 1 + h] wynoszą 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) i 2,01 (h = 0,01): zbliżają się do 2, gdy h maleje. Twierdzenie o wartości średniej gwarantuje punkt c w (1, 3) taki, że f′(c) = 4; tutaj f′(x) = 2x, więc c = 2.
Tabela. Piłka upuszczona z postoju spadła po 0, 1, 2, 3 i 4 sekundach o 0, 4,9, 19,6, 44,1 i 78,4 metra. Między t = 1 a t = 3 droga rośnie z 4,9 do 44,1, więc średnia prędkość wynosi (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 metra na sekundę. Tempa między kolejnymi sekundami to 4,9, 14,7, 24,5 i 34,3 m/s, rosnące stopniowo, bo piłka przyspiesza.
Średnie a chwilowe tempo
Średnie tempo opisuje cały przedział; chwilowe tempo to pochodna, czyli granica średniego tempa, gdy przedział kurczy się do punktu. Tam, gdzie średnie tempa zbliżają się do jednej liczby, ta liczba to f′(a). Jeśli masz tylko tabelę danych, nie możesz obliczyć tej granicy, ale im mniejsza przerwa między pomiarami, tym lepiej średnie tempo przybliża chwilowe. Nie myl średniego tempa zmian ze średnią wartością funkcji, (1/(b − a))∫ f(x)dx, która jest średnią wysokością wykresu, a nie jego średnim nachyleniem.
Najczęstsze pytania
- Jak obliczyć średnie tempo zmian?
- Odejmij wartości funkcji na obu końcach i podziel przez różnicę wartości wejściowych: (f(b) − f(a))/(b − a). Dla tabeli odczytaj wartości y dla dwóch wartości x i zrób to samo.
- Co oznacza ujemne średnie tempo zmian?
- Że wartość wyjściowa spadła ogólnie na całym przedziale: sieczna jest nachylona w dół. Nic nie mówi o tym, co działo się po drodze, bo funkcja mogła najpierw rosnąć, a potem jeszcze bardziej spaść.
- Czym różni się to od nachylenia prostej?
- Dla prostej średnie tempo zmian jest takie samo na każdym przedziale i równa się nachyleniu. Dla krzywej zależy od wybranego przedziału, dlatego potrzebna jest idea chwilowego tempa, czyli pochodnej.
- Jak uwzględnić jednostki?
- Jednostki tempa to jednostki y podzielone przez jednostki x. Jeśli y to droga w metrach, a x to czas w sekundach, tempo jest w metrach na sekundę. Wpisz obie jednostki w kalkulator, a dostaniesz zdanie zapisane za Ciebie.
- Co twierdzenie o wartości średniej oznacza w tym kontekście?
- Jeśli f jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna wewnątrz, to w pewnym punkcie c z (a, b) chwilowe tempo f′(c) równa się średniemu tempu na [a, b]: styczna w c jest równoległa do siecznej. Kalkulator znajduje takie punkty numerycznie i rysuje jedną styczną.
- Czy mogę użyć go dla danych o nierównych odstępach?
- Tak. Tempo między dowolnymi dwiema wybranymi wartościami x jest dokładne dla Twoich danych, a tabela tempa między kolejnymi punktami radzi sobie z nierównymi przerwami, bo każdy wiersz dzieli przez własne Δx.