Calculadora de tasa de cambio media
Introduce una función o una tabla de datos y dos valores de x, y obtén la tasa de cambio media entre ellos —la pendiente de la recta secante— con Δy y Δx, la ecuación de la recta secante, una frase en lenguaje sencillo con tus unidades (metros por segundo, euros por año), una tabla que muestra cómo la tasa se acerca a la tasa instantánea a medida que el intervalo se reduce, y el punto del teorema del valor medio. Gratis, sin registro.
Usa + − * / ^ y paréntesis. Funciones: sin, cos, tan, exp, ln, log (base 10), sqrt, abs y más. Constantes: pi y e.
Un número o una constante, como 1, −2,5 o pi/2.
Resultados
4
Tasa de cambio media
8
Cambio en y, Δy
2
Cambio en x, Δx
1
y al inicio
9
y al final
Qué significa
Entre x = 1 y x = 3, y aumenta en 8 mientras x cambia en 2: de media, 4 por unidad de x.
Recta secante
La tasa de cambio media es la pendiente de la recta secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)).
Reducir el intervalo
| h | Intervalo | Tasa media |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
La tasa media en [a, a + h] se acerca a la tasa instantánea f′(1) = 2 cuando h → 0.
Teorema del valor medio
Hay un punto c entre a y b donde la tasa instantánea f′(c) es igual a esta tasa media: c ≈ 2.
Gráfico
- y = f(x)
- Recta secante (pendiente 4)
- Tangente paralela a la secante en c
Cómo usar la calculadora de tasa de cambio media
- 1. Elige función o tabla. Para una función, escribe f(x), como
x^2osin(x). Para datos, pega un par «x; y» por línea; los valores de x pueden estar en cualquier orden. - 2. Introduce el intervalo. Escribe el inicio a y el final b. En una tabla, ambos deben ser valores de x que aparezcan en tus datos.
- 3. Añade unidades si quieres. Escribe la unidad de y (metros) y la de x (segundo) para obtener la respuesta como frase con «metros por segundo».
- 4. Lee el resultado. Obtienes la tasa, Δy y Δx, la recta secante y una gráfica. En el caso de una función, además ves la tabla de límites y el punto del teorema del valor medio.
La fórmula
La tasa de cambio media de f en [a, b] es (f(b) − f(a)) / (b − a): el cambio en la salida dividido entre el cambio en la entrada, o subida entre avance. Geométricamente, es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es negativa cuando f baja en conjunto, cero cuando f termina donde empezó, y puede calcularse en cualquier intervalo, incluso en uno donde f sube y baja por el medio.
Ejemplos desarrollados
Una función. Para f(x) = x² en [1, 3]: f(1) = 1 y f(3) = 9, así que la tasa es (9 − 1)/(3 − 1) = 4, y la recta secante es y = 4x − 3. La tasa instantánea en x = 1 es f′(1) = 2, y las tasas medias en [1, 1 + h] son 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) y 2,01 (h = 0,01): se acercan a 2 a medida que h se reduce. El teorema del valor medio garantiza un punto c en (1, 3) con f′(c) = 4; aquí f′(x) = 2x, así que c = 2.
Una tabla. Una pelota soltada desde el reposo ha caído 0 m, 4,9 m, 19,6 m, 44,1 m y 78,4 m tras 0, 1, 2, 3 y 4 segundos. Entre t = 1 y t = 3, la distancia pasa de 4,9 a 44,1, así que la velocidad media es (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 metros por segundo. Las tasas entre segundos consecutivos son 4,9; 14,7; 24,5 y 34,3 m/s, en aumento constante porque la pelota acelera.
Tasa media frente a tasa instantánea
La tasa media describe un intervalo entero; la tasa instantánea es la derivada, el límite de la tasa media cuando el intervalo se reduce a un punto. Cuando las tasas medias se estabilizan en un mismo número, ese número es f′(a). Si solo tienes una tabla de datos no puedes calcular ese límite, pero cuanto menor sea la separación entre mediciones, mejor estimará la tasa media a la instantánea. No confundas la tasa de cambio media con el valor medio de una función, (1/(b − a))∫ f(x)dx, que es la altura media de la gráfica y no su pendiente media.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se calcula la tasa de cambio media?
- Resta los valores de la función en los dos extremos y divide entre la diferencia de las entradas: (f(b) − f(a))/(b − a). En una tabla, lee los valores de y en los dos valores de x y haz lo mismo.
- ¿Qué significa una tasa de cambio media negativa?
- Que la salida disminuyó en conjunto a lo largo del intervalo: la recta secante baja. No dice nada de lo que pasó en medio, ya que la función pudo subir primero y bajar después más.
- ¿En qué se diferencia de la pendiente de una recta?
- En una recta, la tasa de cambio media es la misma en cualquier intervalo e igual a la pendiente. En una curva depende del intervalo elegido, por eso hace falta la idea de tasa instantánea (la derivada).
- ¿Cómo incluyo las unidades?
- Las unidades de la tasa son las de y divididas entre las de x. Si y es distancia en metros y x es tiempo en segundos, la tasa está en metros por segundo. Escribe las dos unidades en la calculadora para obtener la frase escrita por ti.
- ¿Qué es el teorema del valor medio en este contexto?
- Si f es continua en [a, b] y derivable entre ambos extremos, existe un punto c en (a, b) en el que la tasa instantánea f′(c) es igual a la tasa media en [a, b]: la tangente en c es paralela a la secante. La calculadora busca numéricamente esos puntos y dibuja una tangente.
- ¿Puedo usarla con datos que no están espaciados de forma regular?
- Sí. La tasa entre dos valores de x que elijas es exacta para tus datos, y la tabla de tasas consecutivas admite huecos desiguales porque cada fila divide entre su propio Δx.