Calculadora de factoriales
Introduce un número entero n para obtener n! exacto, cifra por cifra, junto con su factorial doble n!!, el número de cifras y de ceros finales, y la aproximación de Stirling con su error. Los decimales se tratan con la función gamma. Gratis, sin registro y sin redondeos.
Un número entero de 0 a 10.000. Un decimal como 4,5 usa la función gamma.
Resultados
2.432.902.008.176.640.000
n!
19
Cifras de n!
4
Ceros finales
3.715.891.200
Factorial doble, n!!
≈ 2.4227868 × 10^18
Aproximación de Stirling
0,416%
Cuánto queda por debajo de n!
0,000831%
Error con la corrección 1/(12n)
El desarrollo
- 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, así que cada factorial es el anterior multiplicado por 20.
- Cada cero final viene de un factor 10 = 2 × 5. Los cincos escasean más que los doses. Contándolos: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
- El factorial doble multiplica cada segundo número: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
- La fórmula de Stirling √(2πn) (n/e)ⁿ da unos 2.4227868 × 10^18, que queda 0,416% por debajo del valor exacto.
Cómo usar la calculadora de factoriales
- 1. Introduce n. Cualquier número entero de 0 a 10.000. El resultado se actualiza mientras escribes.
- 2. Lee el valor exacto. Los factoriales pequeños aparecen con separadores de miles. Los más grandes muestran un titular en notación científica y todas las cifras en un recuadro con desplazamiento, con un botón para copiarlas.
- 3. Revisa los datos adicionales. También obtienes el número de cifras, los ceros finales, el factorial doble n!! y la aproximación de Stirling, con cuánto queda por debajo de n!.
- 4. Prueba con un decimal. Para un valor como 4,5 la calculadora devuelve Γ(5,5) = 4,5!, ya que la función gamma extiende el factorial a todos los números excepto los enteros negativos.
Qué es un factorial
El factorial de un número entero no negativo n, escrito n!, es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Cuenta las formas de ordenar n cosas distintas en fila —tres libros pueden colocarse en 3! = 6 órdenes distintos— y es la base de las permutaciones, las combinaciones y el teorema del binomio. Cada factorial es el anterior multiplicado por n: n! = n × (n − 1)!.
¿Por qué 0! es igual a 1? Siguiendo la regla n! = n × (n − 1)! hasta n = 1 se obtiene 1! = 1 × 0!, lo que solo se cumple si 0! = 1. También encaja con el significado de contar (hay exactamente una forma de ordenar nada) y con el hecho de que un producto vacío vale 1 por convención.
| n | n! | Ceros finales |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 3 | 6 | 0 |
| 4 | 24 | 0 |
| 5 | 120 | 1 |
| 6 | 720 | 1 |
| 7 | 5.040 | 1 |
| 8 | 40.320 | 1 |
| 9 | 362.880 | 1 |
| 10 | 3.628.800 | 2 |
| 15 | 1.307.674.368.000 | 3 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 4 |
Ceros finales: la fórmula de Legendre
Un cero al final de n! viene de un factor 10 = 2 × 5. Siempre hay más factores 2 que factores 5, así que el número de ceros finales es igual al número de 5 en 1 × 2 × … × n. Cuenta los múltiplos de 5, suma los múltiplos de 25 (cada uno esconde un segundo 5), luego los de 125, y así sucesivamente: ceros = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Para 100!, son 20 + 4 = 24 ceros finales. 100! tiene 158 cifras en total.
La aproximación de Stirling
Para valores grandes de n, n! se aproxima mediante √(2πn) (n/e)ⁿ. La aproximación siempre queda un poco por debajo del valor real, en una cantidad relativa de unos 1/(12n): un 0,83 % para n = 10 (3,5986956 × 10⁶ frente a 3.628.800) y un 0,083 % para n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ frente a 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Multiplicar por (1 + 1/(12n)) elimina la mayor parte del error. La aproximación permite estimar el tamaño de factoriales enormes usando solo logaritmos.
Factorial doble y función gamma
El factorial doble n!! multiplica cada segundo número desde n hacia abajo: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, y 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. No es (n!)!. Por convención, 0!! = 1, y n!! × (n − 1)!! = n!. La función gamma Γ(x) generaliza el factorial: Γ(n + 1) = n! para enteros n, y también está definida para decimales, como (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. No tiene valor en cero ni en los enteros negativos, así que (−1)! y (−2)! no existen.
¿Qué tamaño pueden alcanzar los factoriales en un ordenador?
20! = 2.432.902.008.176.640.000 es el factorial más grande que cabe en un entero con signo de 64 bits, y 170! ≈ 7,26 × 10³⁰⁶ es el más grande que cabe en un número de doble precisión. Esta calculadora usa enteros de tamaño arbitrario, así que 10.000! se calcula de forma exacta, con 35.660 cifras.
Preguntas frecuentes
- ¿Por qué 0! es igual a 1?
- Porque la regla del factorial n! = n × (n − 1)! debe cumplirse en n = 1, lo que da 1 = 1 × 0!. También coincide con el significado de contar: hay exactamente una forma de ordenar cero objetos, y el producto vacío de ningún número es 1.
- ¿Cuántos ceros tiene 100! al final?
- 24. Cuenta los factores de 5: ⌊100/5⌋ = 20 múltiplos de 5 más ⌊100/25⌋ = 4 múltiplos de 25 dan 24, y hay de sobra factores 2 para emparejarlos.
- ¿Se puede calcular el factorial de un número negativo o de un decimal?
- No de un entero negativo, donde la función gamma tiene polos. Los decimales y los negativos que no son enteros funcionan mediante Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 y (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.
- ¿Qué es un factorial doble?
- n!! es el producto de los números desde n hacia abajo hasta 1 o 2, de dos en dos: así, 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 y 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. No es lo mismo que (n!)!, que sería un número enorme.
- ¿De cuántas formas se pueden ordenar las 52 cartas de una baraja?
- 52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, un número de 68 cifras. En la práctica, cualquier baraja bien barajada es una ordenación que nadie había tenido antes.
- ¿Qué precisión tiene la aproximación de Stirling?
- Su error relativo es de unos 1/(12n), así que queda un 0,83 % por debajo para n = 10 y un 0,083 % para n = 100. La calculadora muestra el error exacto para tu n y el error que queda tras añadir la corrección 1/(12n).