Calculadora de permutaciones y combinaciones
Introduce el número total de elementos n y el número que eliges r, y obtén en paralelo las permutaciones (nPr, el orden importa) y las combinaciones (nCr, el orden no cuenta). Cada resultado muestra su fórmula y el desarrollo, y una guía breve explica cuál necesita tu problema. Gratis, sin registro.
nPr y nCr
Permutaciones — el orden importa (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! se simplifica al producto de 3 factores superiores:
10 × 9 × 8 = 720
Combinaciones — el orden no importa (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — se eliminan las 6 ordenaciones de cada selección:
720 ÷ 6 = 120
¿Cuándo importa el orden?
El orden importa → permutación (nPr). Un código de candado es el ejemplo clásico: en un candado de 3 dígitos usando los dígitos 1, 2 y 3, los códigos 1-2-3 y 3-2-1 son diferentes: los mismos tres dígitos en otro orden no abrirán el candado. Los podios de carreras (1.º, 2.º, 3.º), las contraseñas y las disposiciones de asientos funcionan de la misma manera.
El orden no importa → combinación (nCr). Los ingredientes de una pizza son el ejemplo clásico: una pizza con champiñones, aceitunas y pimientos es exactamente la misma pizza que una con pimientos, aceitunas y champiñones. Los comités, los números de la lotería y las manos de cartas también son combinaciones.
Por eso nCr nunca es mayor que nPr: cada selección sin orden de r elementos corresponde a r! ordenaciones distintas, así que nCr = nPr ÷ r!.
Cómo usar la calculadora de permutaciones y combinaciones
- 1. Introduce n. Es el número total de elementos distintos entre los que eliges. La calculadora acepta números enteros de 0 a 170 y empieza en 10.
- 2. Introduce r. Es cuántos elementos eliges, de 0 a n. Empieza en 3.
- 3. Lee los dos resultados. nPr cuenta las disposiciones ordenadas y nCr cuenta las selecciones sin orden. Cada tarjeta muestra su fórmula, el producto reducido al que se simplifican los factoriales y el resultado.
- 4. Elige el correcto. El panel de debajo del resultado explica cuándo importa el orden, con ejemplos.
Las fórmulas
- Permutaciones: nPr = n! ÷ (n − r)!. En la práctica, es el producto n × (n − 1) × … × (n − r + 1), con r factores en total.
- Combinaciones: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Cada selección sin orden de r elementos puede ordenarse de r! formas, así que dividir nPr entre r! elimina las repeticiones.
- Ambas suponen que no hay repetición: cada elemento se usa una sola vez. Elegir con repetición usa nʳ para las selecciones ordenadas y (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) para las no ordenadas, lo que esta calculadora no calcula.
Elegir 3 de 10 (los valores iniciales)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 disposiciones ordenadas
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 selecciones sin orden
¿Importa el orden o no? Casos resueltos
| Situación | Tipo | Cantidad |
|---|---|---|
| Oro, plata y bronce entre 8 corredores | Permutación, 8P3 | 336 |
| Un comité de 3 personas elegido entre 10 | Combinación, 10C3 | 120 |
| Manos de póquer de cinco cartas de una baraja de 52 | Combinación, 52C5 | 2.598.960 |
| Cinco cargos distintos asignados entre 52 miembros | Permutación, 52P5 | 311.875.200 |
| Seis números sacados de 49 en una lotería (sin orden) | Combinación, 49C6 | 13.983.816 |
Cada grupo sin orden de 5 puede ordenarse de 5! = 120 formas, por eso 52P5 ÷ 52C5 = 120. Una «combinación» de candado es en realidad una permutación, porque 1-2-3 y 3-2-1 abren candados distintos.
Límites que conviene conocer
- n está limitado a 170. 170! es aproximadamente 7 × 10³⁰⁶, el factorial más grande que cabe en un número de punto flotante normal. A partir de ahí la aritmética desborda.
- Las respuestas grandes son aproximadas. Los resultados por debajo de 10¹⁵ se muestran como números enteros. Por encima, aparecen en notación científica, y las cifras a partir de unas quince no son exactas, así que usa una herramienta de enteros grandes si necesitas todos los dígitos.
- Los elementos idénticos no se distinguen. Las disposiciones de las letras de MISSISSIPPI no son 11P11, porque las letras repetidas son indistinguibles. Divide entre el factorial de cada número de repeticiones.
- No se permite r mayor que n. No puedes elegir más elementos distintos de los que tienes si no hay repetición.
¿Qué herramienta necesitas?
| Quieres | Usa |
|---|---|
| El número de selecciones ordenadas o sin orden | Esta calculadora de permutaciones y combinaciones |
| La probabilidad de un resultado favorable | Calculadora de probabilidad |
| n! por sí solo | Calculadora de factoriales |
| La probabilidad de k éxitos en n intentos | Calculadora de distribución binomial |
| La probabilidad de extraer una combinación dada sin reemplazo | Calculadora de distribución hipergeométrica |
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?
- Una permutación cuenta las disposiciones ordenadas, como quién queda primero, segundo y tercero. Una combinación cuenta las selecciones sin orden, como qué tres personas se sientan en un comité. Para los mismos n y r, nPr nunca es menor que nCr.
- ¿Cuál es la fórmula de nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, que equivale al producto n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Para 10P3 es 10 × 9 × 8 = 720.
- ¿Cuál es la fórmula de nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), igual a nPr ÷ r!. Para 10C3 es 720 ÷ 6 = 120.
- ¿Cómo calculo las probabilidades de ganar una lotería?
- Si eliges k números de n y el orden no importa, el número de boletos posibles es nCk. En un sorteo de 6 de 49 hay 49C6 = 13.983.816 combinaciones, así que un boleto gana el premio mayor con probabilidad 1 ÷ 13.983.816.
- ¿Por qué la entrada está limitada a n ≤ 170?
- 170! es el factorial más grande que cabe en números de punto flotante normales; 171! desborda hasta infinito. Dentro del límite, los resultados muy grandes se muestran en notación científica y son aproximados a partir de unos quince dígitos.
- ¿Una «combinación» de candado es realmente una combinación?
- No. Matemáticamente es una permutación, porque 1-2-3 y 3-2-1 son códigos distintos. El orden importa, así que «candado de permutación» sería el nombre exacto.