Calculadora de permutaciones y combinaciones
Introduce n (elementos totales) y r (elementos elegidos) para calcular nPr y nCr en paralelo, con las fórmulas factoriales desarrolladas usando tus números, y una explicación clara de cuándo importa el orden.
nPr y nCr
Permutaciones — el orden importa (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! se simplifica al producto de los 3 factores superiores:
10 × 9 × 8 = 720
Combinaciones — el orden no importa (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — se eliminan las 6 ordenaciones de cada selección:
720 ÷ 6 = 120
¿Cuándo importa el orden?
El orden importa → permutación (nPr). Un código de candado es el ejemplo clásico: en un candado de 3 dígitos usando los dígitos 1, 2 y 3, los códigos 1-2-3 y 3-2-1 son diferentes: los mismos tres dígitos en un orden distinto no abrirán el candado. Los podios de carreras (1.º, 2.º, 3.º), las contraseñas y las disposiciones de asientos funcionan de la misma manera.
El orden no importa → combinación (nCr). Los ingredientes de una pizza son el ejemplo clásico: una pizza con champiñones, aceitunas y pimientos es exactamente la misma pizza que una con pimientos, aceitunas y champiñones. Los comités, los números de la lotería y las manos de cartas también son combinaciones.
Por eso nCr nunca es mayor que nPr: cada selección desordenada de r elementos corresponde a r! ordenaciones distintas, así que nCr = nPr ÷ r!.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?
- Una permutación cuenta las disposiciones ordenadas: elegir el 1.º, 2.º y 3.º puesto es una permutación. Una combinación cuenta las selecciones desordenadas: elegir a 3 personas para un comité es una combinación. Para los mismos n y r, nPr siempre es al menos tan grande como nCr.
- ¿Cuál es la fórmula de nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. En la práctica, eso es el producto n × (n − 1) × … × (n − r + 1), que es exactamente cómo lo calcula esta herramienta, sin necesidad de factoriales completos.
- ¿Cuál es la fórmula de nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Equivale a nPr dividido entre r!, porque cada selección desordenada de r elementos se puede ordenar de r! formas distintas.
- ¿Por qué la entrada está limitada a n ≤ 170?
- 170! es el factorial más grande que cabe en un número de punto flotante de JavaScript; 171! desborda a infinito. Dentro del límite, los resultados muy grandes se muestran en notación científica.
- ¿Una «combinación» de candado es realmente una combinación?
- No: matemáticamente es una permutación, porque 1-2-3 y 3-2-1 abren candados distintos. El orden importa, así que «candado de permutación» sería el nombre correcto.