순열·조합 계산기
전체 항목 수 n과 선택할 항목 수 r을 입력하면 순열(nPr, 순서가 중요함)과 조합(nCr, 순서 무시)을 나란히 계산합니다. 각 결과는 공식과 계산 과정을 보여 주며, 짧은 안내가 여러분의 문제에 어느 쪽이 필요한지 설명합니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
nPr과 nCr
순열 — 순서가 중요함 (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7!은 상위 3개 인수의 곱으로 약분됩니다:
10 × 9 × 8 = 720
조합 — 순서 무시 (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — 각 선택이 가질 수 있는 6가지 순서를 나눕니다:
720 ÷ 6 = 120
순서는 언제 중요한가요?
순서가 중요함 → 순열(nPr). 자물쇠 비밀번호가 전형적인 예입니다: 1, 2, 3 숫자를 사용하는 3자리 자물쇠에서 1-2-3과 3-2-1은 서로 다른 코드입니다. 같은 세 숫자라도 순서가 다르면 자물쇠가 열리지 않습니다. 시상대(1등, 2등, 3등), 비밀번호, 좌석 배치도 모두 같은 원리입니다.
순서가 중요하지 않음 → 조합(nCr). 피자 토핑이 전형적인 예입니다: 버섯, 올리브, 피망을 올린 피자는 피망, 올리브, 버섯을 올린 피자와 정확히 같은 피자입니다. 위원회 구성, 복권 번호 선택, 카드 패도 모두 조합입니다.
그래서 nCr은 결코 nPr보다 클 수 없습니다: r개 항목의 순서 없는 선택 하나하나가 r!가지의 서로 다른 순서 배열에 대응하므로 nCr = nPr ÷ r!입니다.
순열·조합 계산기 사용 방법
- 1. n을 입력하세요. 고를 수 있는 서로 다른 전체 항목의 수입니다. 계산기는 0부터 170까지의 정수를 받으며, 기본값은 10입니다.
- 2. r을 입력하세요. 뽑을 항목의 수로, 0부터 n까지입니다. 기본값은 3입니다.
- 3. 두 결과를 읽으세요. nPr은 순서가 있는 배열을, nCr은 순서가 없는 선택을 셉니다. 각 카드는 공식, 계승이 약분된 곱, 그리고 답을 보여 줍니다.
- 4. 맞는 것을 고르세요. 결과 아래 패널은 순서가 언제 중요한지 예시와 함께 설명합니다.
공식
- 순열: nPr = n! ÷ (n − r)!입니다. 실제로는 n × (n − 1) × … × (n − r + 1)이라는 곱이며, 모두 r개의 인수가 있습니다.
- 조합: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!입니다. 순서 없이 고른 r개 항목 하나하나는 r!가지로 배열할 수 있으므로, nPr을 r!로 나누면 중복이 제거됩니다.
- 둘 다 반복이 없다고 가정합니다: 각 항목은 한 번만 쓸 수 있습니다. 반복을 허용하면 순서가 있는 선택은 nʳ, 순서가 없는 선택은 (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)를 쓰지만, 이 계산기는 그것을 계산하지 않습니다.
10개 중 3개 고르기 (시작 값)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720가지 순서 있는 배열
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120가지 순서 없는 선택
순서가 중요한가, 아닌가? 네 가지 사례
| 상황 | 종류 | 개수 |
|---|---|---|
| 8명의 주자 중 금, 은, 동메달 | 순열, 8P3 | 336 |
| 10명 중 위원 3명 | 조합, 10C3 | 120 |
| 52장 카드에서 뽑는 포커 패 | 조합, 52C5 | 2,598,960 |
| 52명 중 서로 다른 다섯 임원 직책을 채우기 | 순열, 52P5 | 311,875,200 |
| 복권에서 49개 중 6개 번호를 뽑기 (순서 무시) | 조합, 49C6 | 13,983,816 |
5개로 된 각 묶음은 5! = 120가지 순서로 배열할 수 있으므로 52P5 ÷ 52C5 = 120입니다. 자물쇠 "조합"은 실제로는 순열입니다. 1-2-3과 3-2-1은 서로 다른 자물쇠를 열기 때문입니다.
알아 둘 한계
- n은 170으로 제한됩니다. 170!은 약 7 × 10³⁰⁶으로, 일반 부동소수점 수가 담을 수 있는 가장 큰 계승입니다. 그보다 크면 계산이 넘칩니다.
- 큰 결과는 근삿값입니다. 10¹⁵ 미만의 결과는 정수로 표시됩니다. 그 이상은 과학적 표기법으로 나타나며, 약 열다섯 자리를 넘는 숫자는 정확하지 않으므로 모든 자리가 필요하다면 큰 정수 도구를 쓰세요.
- 같은 항목은 서로 다른 것으로 세지 않습니다. MISSISSIPPI의 글자 배열 수는 11P11이 아닙니다. 같은 글자는 구별할 수 없으므로, 각 글자가 반복된 횟수의 계승으로 나누세요.
- r은 n보다 클 수 없습니다. 반복 없이는 가진 항목보다 많이 고를 수 없습니다.
어떤 도구가 필요한가요?
| 원하는 것 | 사용할 도구 |
|---|---|
| 순서 있는 또는 없는 선택의 개수 | 이 순열·조합 계산기 |
| 유리한 결과가 나올 확률 | 확률 계산기 |
| n! 자체 | Factorial Calculator |
| n번 시행에서 k번 성공할 확률 | Binomial Distribution Calculator |
| 비복원 추출에서 특정 조합이 나올 확률 | Hypergeometric Distribution Calculator |
자주 묻는 질문
- 순열과 조합의 차이는 무엇인가요?
- 순열은 순서가 있는 배열을 셉니다. 1등, 2등, 3등이 누가 되는지가 그 예입니다. 조합은 순서가 없는 선택을 셉니다. 위원회에 누가 들어가는지가 그 예입니다. 같은 n과 r에 대해 nPr은 결코 nCr보다 작지 않습니다.
- nPr의 공식은 무엇인가요?
- nPr = n! ÷ (n − r)!이며, 이는 n × (n − 1) × … × (n − r + 1)의 곱과 같습니다. 10P3이라면 10 × 9 × 8 = 720입니다.
- nCr의 공식은 무엇인가요?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)이며, 이는 nPr ÷ r!과 같습니다. 10C3이라면 720 ÷ 6 = 120입니다.
- 복권 당첨 확률은 어떻게 계산하나요?
- n개 중 k개를 고르고 순서가 중요하지 않다면, 가능한 복권의 수는 nCk입니다. 49개 중 6개를 뽑는 추첨은 49C6 = 13,983,816이므로, 한 장의 복권이 1등에 당첨될 확률은 1 ÷ 13,983,816입니다.
- 입력이 n ≤ 170으로 제한되는 이유는 무엇인가요?
- 170!은 일반 부동소수점 수에 들어가는 가장 큰 계승입니다. 171!은 무한대로 넘칩니다. 이 한도 안에서도 매우 큰 결과는 과학적 표기법으로 나타나며, 약 열다섯 자리를 넘으면 근삿값입니다.
- 자물쇠의 조합은 정말 조합인가요?
- 아니요. 수학적으로는 순열입니다. 1-2-3과 3-2-1은 서로 다른 코드이기 때문입니다. 순서가 중요하므로 '순열 자물쇠'가 더 정확한 이름입니다.