순열·조합 계산기
n(전체 항목 수)과 r(선택할 항목 수)을 입력하면 nPr과 nCr을 나란히 계산하고, 여러분의 숫자로 계승 공식을 풀어 보여주며, 순서가 언제 중요한지 쉬운 말로 설명합니다.
nPr과 nCr
순열 — 순서가 중요함(10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7!은 상위 3개 인수의 곱으로 약분됩니다:
10 × 9 × 8 = 720
조합 — 순서 무시(10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — 각 선택의 6가지 순서로 나눕니다:
720 ÷ 6 = 120
순서는 언제 중요한가요?
순서가 중요함 → 순열(nPr). 자물쇠 비밀번호가 전형적인 예입니다: 1, 2, 3 숫자를 사용하는 3자리 자물쇠에서 1-2-3과 3-2-1은 서로 다른 코드입니다 — 같은 세 숫자라도 순서가 다르면 자물쇠가 열리지 않습니다. 시상대(1등, 2등, 3등), 비밀번호, 좌석 배치도 모두 같은 원리입니다.
순서가 중요하지 않음 → 조합(nCr). 피자 토핑이 전형적인 예입니다: 버섯, 올리브, 피망을 올린 피자는 피망, 올리브, 버섯을 올린 피자와 정확히 같은 피자입니다. 위원회 구성, 복권 번호 선택, 카드 패도 모두 조합입니다.
그래서 nCr은 결코 nPr보다 클 수 없습니다: r개 항목의 순서 없는 선택 하나하나가 r!가지의 서로 다른 순서 배열에 대응하므로 nCr = nPr ÷ r!입니다.
자주 묻는 질문
- 순열과 조합의 차이는 무엇인가요?
- 순열은 순서가 있는 배열을 셉니다 — 1등, 2등, 3등을 정하는 것은 순열입니다. 조합은 순서가 없는 선택을 셉니다 — 위원회에 3명을 뽑는 것은 조합입니다. 같은 n과 r에 대해 nPr은 항상 nCr 이상입니다.
- nPr의 공식은 무엇인가요?
- nPr = n! ÷ (n − r)!입니다. 실제로는 n × (n − 1) × … × (n − r + 1)이라는 곱이며, 이는 이 계산기가 완전한 계승 없이 계산하는 정확한 방식입니다.
- nCr의 공식은 무엇인가요?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)입니다. 이는 nPr을 r!로 나눈 값과 같습니다. r개 항목의 순서 없는 선택 하나하나가 r!가지의 서로 다른 순서로 배열될 수 있기 때문입니다.
- 입력이 n ≤ 170으로 제한되는 이유는 무엇인가요?
- 170!은 자바스크립트의 부동소수점 숫자에 들어가는 가장 큰 계승입니다. 171!은 오버플로되어 무한대가 됩니다. 이 범위 안에서도 매우 큰 결과는 과학적 표기법으로 표시됩니다.
- 자물쇠의 '조합(combination)'은 정말 조합인가요?
- 아니요 — 수학적으로는 순열입니다. 1-2-3과 3-2-1은 서로 다른 자물쇠를 열기 때문입니다. 순서가 중요하므로 '순열 자물쇠(permutation lock)'가 더 정확한 이름일 것입니다.