Calculadora de permutação e combinação
Insira o número total de itens n e o número que você escolhe r, e veja lado a lado o número de permutações (nPr, a ordem importa) e de combinações (nCr, a ordem não importa). Cada resultado mostra sua fórmula e o cálculo, e um breve guia explica qual dos dois o seu problema pede. Grátis, sem cadastro.
nPr e nCr
Permutações — a ordem importa (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! se reduz ao produto dos 3 fatores superiores:
10 × 9 × 8 = 720
Combinações — a ordem não importa (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — divida pelas 6 ordenações de cada seleção:
720 ÷ 6 = 120
Quando a ordem importa?
A ordem importa → permutação (nPr). Um código de cadeado é o exemplo clássico: em um cadeado de 3 dígitos com os números 1, 2 e 3, os códigos 1-2-3 e 3-2-1 são diferentes — os mesmos três dígitos em outra ordem não abrem o cadeado. Pódios de corrida (1º, 2º, 3º), senhas e arranjos de assentos funcionam do mesmo jeito.
A ordem não importa → combinação (nCr). Os ingredientes de uma pizza são o exemplo clássico: uma pizza com cogumelos, azeitonas e pimentões é exatamente a mesma pizza que uma com pimentões, azeitonas e cogumelos. Comissões, sorteios de números de loteria e mãos de cartas também são combinações.
Por isso nCr nunca é maior que nPr: cada seleção não ordenada de r itens corresponde a r! arranjos ordenados diferentes, então nCr = nPr ÷ r!.
Como usar a calculadora de permutação e combinação
- 1. Insira n. É o número total de itens distintos para escolher. A calculadora aceita números inteiros de 0 a 170 e começa em 10.
- 2. Insira r. É quantos itens você escolhe, de 0 até n. Começa em 3.
- 3. Leia os dois resultados. nPr conta os arranjos ordenados, e nCr conta as seleções não ordenadas. Cada cartão mostra sua fórmula, o produto reduzido a que os fatoriais se simplificam e a resposta.
- 4. Escolha o correto. O painel abaixo do resultado explica quando a ordem importa, com exemplos.
As fórmulas
- Permutações: nPr = n! ÷ (n − r)!. Na prática, é o produto n × (n − 1) × … × (n − r + 1), com r fatores no total.
- Combinações: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Cada seleção não ordenada de r itens pode ser arranjada de r! maneiras, então dividir nPr por r! elimina as repetições.
- Ambas supõem ausência de repetição: cada item pode ser usado uma vez. Escolhas com repetição usam nʳ para as ordenadas e (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) para as não ordenadas, o que esta calculadora não calcula.
Escolher 3 de 10 (os valores iniciais)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 arranjos ordenados
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 seleções não ordenadas
A ordem importa ou não? Quatro casos resolvidos
| Situação | Tipo | Contagem |
|---|---|---|
| Ouro, prata e bronze entre 8 corredores | Permutação, 8P3 | 336 |
| Um comitê de 3 escolhido entre 10 pessoas | Combinação, 10C3 | 120 |
| Mãos de cinco cartas no pôquer, de um baralho de 52 cartas | Combinação, 52C5 | 2.598.960 |
| Cinco cargos diferentes preenchidos entre 52 membros | Permutação, 52P5 | 311.875.200 |
| Seis números sorteados de 49 em uma loteria (ordem ignorada) | Combinação, 49C6 | 13.983.816 |
Cada grupo não ordenado de 5 pode ser ordenado de 5! = 120 maneiras, por isso 52P5 ÷ 52C5 = 120. Uma “combinação” de cadeado é, na verdade, uma permutação, porque 1-2-3 e 3-2-1 abrem cadeados diferentes.
Limites a conhecer
- n é limitado a 170. 170! é cerca de 7 × 10³⁰⁶, o maior fatorial que um número de ponto flutuante comum comporta. Acima disso, a aritmética estoura.
- Respostas grandes são aproximadas. Resultados abaixo de 10¹⁵ aparecem como números inteiros. Acima disso, aparecem em notação científica, e os dígitos além de cerca de quinze não são exatos; use uma ferramenta de inteiros grandes se precisar de todos os dígitos.
- Itens idênticos são diferentes. Os arranjos das letras de MISSISSIPPI não são 11P11, porque letras repetidas são indistinguíveis. Divida pelo fatorial de cada número de repetições.
- r maior que n não é permitido. Não é possível escolher mais itens distintos do que os que você tem, sem repetição.
De qual ferramenta você precisa?
| Você quer | Use |
|---|---|
| O número de seleções ordenadas ou não ordenadas | Esta calculadora de permutação e combinação |
| A probabilidade de um resultado favorável | Calculadora de probabilidade |
| n! por si só | Calculadora de fatorial |
| A chance de k sucessos em n tentativas | Calculadora de distribuição binomial |
| A chance de tirar uma combinação dada sem reposição | Calculadora de distribuição hipergeométrica |
Perguntas frequentes
- Qual é a diferença entre permutação e combinação?
- A permutação conta arranjos ordenados, como quem chega em primeiro, segundo e terceiro lugar. A combinação conta seleções não ordenadas, como quais três pessoas sentam em um comitê. Para o mesmo n e r, nPr nunca é menor que nCr.
- Qual é a fórmula de nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, que é igual ao produto n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Para 10P3, é 10 × 9 × 8 = 720.
- Qual é a fórmula de nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), igual a nPr ÷ r!. Para 10C3, é 720 ÷ 6 = 120.
- Como calcular as chances de ganhar uma loteria?
- Se você escolhe k números de n e a ordem não importa, o número de bilhetes possíveis é nCk. Um sorteio de 6 números entre 49 tem 49C6 = 13.983.816, então um bilhete ganha o prêmio máximo com probabilidade de 1 ÷ 13.983.816.
- Por que a entrada é limitada a n ≤ 170?
- 170! é o maior fatorial que cabe em números de ponto flutuante comuns; 171! estoura para infinito. Dentro do limite, resultados muito grandes aparecem em notação científica e são aproximados além de cerca de quinze dígitos.
- Um código de cadeado é realmente uma combinação?
- Não. Matematicamente, é uma permutação, porque 1-2-3 e 3-2-1 são códigos diferentes. A ordem importa, então “cadeado de permutação” seria o nome correto.