Calculadora de permutação e combinação
Insira n (itens totais) e r (itens escolhidos) para calcular nPr e nCr lado a lado, com as fórmulas fatoriais desenvolvidas usando seus números — e uma explicação clara de quando a ordem importa.
nPr e nCr
Permutações — a ordem importa (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! se simplifica ao produto dos 3 fatores superiores:
10 × 9 × 8 = 720
Combinações — a ordem é ignorada (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — eliminam-se as 6 ordenações de cada seleção:
720 ÷ 6 = 120
Quando a ordem importa?
A ordem importa → permutação (nPr). Um código de cadeado é o exemplo clássico: em um cadeado de 3 dígitos usando os dígitos 1, 2 e 3, os códigos 1-2-3 e 3-2-1 são diferentes — os mesmos três dígitos em uma ordem diferente não abrirão o cadeado. Pódios de corrida (1º, 2º, 3º), senhas e arranjos de assentos funcionam da mesma forma.
A ordem não importa → combinação (nCr). Os ingredientes de pizza são o exemplo clássico: uma pizza com cogumelos, azeitonas e pimentões é exatamente a mesma pizza que uma com pimentões, azeitonas e cogumelos. Comitês, números de loteria e mãos de cartas também são combinações.
É por isso que nCr nunca é maior que nPr: cada seleção não ordenada de r itens corresponde a r! arranjos ordenados diferentes, então nCr = nPr ÷ r!.
Perguntas frequentes
- Qual é a diferença entre uma permutação e uma combinação?
- Uma permutação conta arranjos ordenados — escolher o 1º, 2º e 3º lugar é uma permutação. Uma combinação conta seleções não ordenadas — escolher 3 pessoas para um comitê é uma combinação. Para os mesmos n e r, nPr é sempre pelo menos tão grande quanto nCr.
- Qual é a fórmula de nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. Na prática, isso é o produto n × (n − 1) × … × (n − r + 1), que é exatamente como esta calculadora o computa — sem necessidade de fatoriais completos.
- Qual é a fórmula de nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). É igual a nPr dividido por r!, porque cada seleção não ordenada de r itens pode ser organizada de r! formas diferentes.
- Por que a entrada é limitada a n ≤ 170?
- 170! é o maior fatorial que cabe em um número de ponto flutuante do JavaScript; 171! transborda para infinito. Dentro do limite, resultados muito grandes são mostrados em notação científica.
- Uma «combinação» de cadeado é realmente uma combinação?
- Não — matematicamente é uma permutação, porque 1-2-3 e 3-2-1 abrem cadeados diferentes. A ordem importa, então «cadeado de permutação» seria o nome correto.