Permütasyon ve Kombinasyon Hesaplayıcı
Toplam öğe sayısı n ile seçtiğiniz sayı r'yi girin; permütasyon sayısını (nPr, sıra önemlidir) ve kombinasyon sayısını (nCr, sıra yok sayılır) yan yana alın. Her sonuç formülünü ve işlemini gösterir; kısa bir rehber probleminizin hangisine ihtiyaç duyduğunu açıklar. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
nPr ve nCr
Permütasyonlar — sıra önemlidir (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! sadeleşerek en üstteki 3 çarpanın çarpımına iner:
10 × 9 × 8 = 720
Kombinasyonlar — sıra yok sayılır (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — her seçimin 6 sıralamasını çıkarın:
720 ÷ 6 = 120
Sıra ne zaman önemlidir?
Sıra önemlidir → permütasyon (nPr). Bir kilit kodu klasik bir örnektir: 1, 2 ve 3 rakamlarını kullanan 3 basamaklı bir kilitte, 1-2-3 ve 3-2-1 kodları farklıdır — aynı üç rakam farklı bir sırada kilidi açmaz. Yarış podyumları (1., 2., 3.), parolalar ve oturma düzenleri de aynı şekilde çalışır.
Sıra önemli değildir → kombinasyon (nCr). Pizza malzemeleri klasik bir örnektir: mantar, zeytin ve biberli bir pizza, biber, zeytin ve mantarlı bir pizzayla tamamen aynıdır. Komiteler, piyango numarası seçimleri ve kart elleri de kombinasyondur.
Bu yüzden nCr, nPr'den asla daha büyük değildir: r öğenin her sırasız seçimi r! farklı sıralı düzenlemeye karşılık gelir, bu nedenle nCr = nPr ÷ r!.
Permütasyon ve Kombinasyon Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. n'yi girin. Seçim yapılacak farklı öğelerin toplam sayısıdır. Hesaplayıcı 0 ile 170 arasındaki tam sayıları kabul eder ve 10'dan başlar.
- 2. r'yi girin. Seçtiğiniz öğe sayısıdır; 0 ile n arasında. 3'ten başlar.
- 3. İki sonucu okuyun. nPr sıralı düzenlemeleri, nCr sırasız seçimleri sayar. Her kart formülünü, faktöriyellerin sadeleştiği kısa çarpımı ve yanıtı gösterir.
- 4. Doğru olanı seçin. Sonucun altındaki panel, sıranın ne zaman önemli olduğunu örneklerle açıklar.
Formüller
- Permütasyonlar: nPr = n! ÷ (n − r)!. Pratikte bu, n × (n − 1) × … × (n − r + 1) çarpımıdır; toplam r çarpan.
- Kombinasyonlar: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. r öğenin her sırasız seçimi r! farklı biçimde sıralanabilir; bu yüzden nPr'yi r!'ye bölmek tekrarları çıkarır.
- İkisi de tekrarsız varsayar: her öğe yalnızca bir kez kullanılabilir. Tekrarlı seçim, sıralı seçimler için nʳ, sırasız seçimler için (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) kullanır; bu hesaplayıcı bunları hesaplamaz.
10'dan 3 seçmek (başlangıç değerleri)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 sıralı düzenleme
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 sırasız seçim
Sıra Önemli mi, Değil mi? Dört Çalışılmış Durum
| Durum | Tür | Sayı |
|---|---|---|
| 8 koşucu arasında altın, gümüş ve bronz | Permütasyon, 8P3 | 336 |
| 10 kişiden seçilen 3 kişilik bir komite | Kombinasyon, 10C3 | 120 |
| 52 karttan beş kartlık poker elleri | Kombinasyon, 52C5 | 2.598.960 |
| 52 üyeden beş farklı görevin doldurulması | Permütasyon, 52P5 | 311.875.200 |
| Piyangoda 49 sayıdan çekilen altı sayı (sıra yok sayılır) | Kombinasyon, 49C6 | 13.983.816 |
Sırasız her beşli grup 5! = 120 biçimde sıralanabilir; bu yüzden 52P5 ÷ 52C5 = 120. Bir kilit "kombinasyonu" aslında bir permütasyondur, çünkü 1-2-3 ve 3-2-1 farklı kilitleri açar.
Bilinmesi Gereken Sınırlar
- n en fazla 170. 170! yaklaşık 7 × 10³⁰⁶'dır; sıradan bir kayan noktalı sayının tutabildiği en büyük faktöriyeldir. Bunun ötesinde aritmetik taşar.
- Büyük yanıtlar yaklaşıktır. 10¹⁵'in altındaki sonuçlar tam sayı olarak gösterilir. Bunun üzerinde bilimsel gösterimle görünürler ve yaklaşık on beş basamaktan sonraki basamaklar kesin değildir; her basamağa ihtiyacınız varsa büyük tam sayı aracı kullanın.
- Özdeş öğeler farklıdır. MISSISSIPPI harflerinin düzenlemeleri 11P11 değildir, çünkü tekrarlanan harfler ayırt edilemez. Bunun yerine her tekrar sayısının faktöriyeline bölün.
- r, n'den büyük olamaz. Tekrarsız olarak, sahip olduğunuzdan fazla farklı öğe seçemezsiniz.
Hangi Araca İhtiyacınız Var?
| İstediğiniz | Kullanın |
|---|---|
| Sıralı ya da sırasız seçimlerin sayısı | Bu Permütasyon ve Kombinasyon Hesaplayıcı |
| Olumlu bir sonucun olasılığı | Olasılık Hesaplayıcı |
| Yalnızca n! | Faktöriyel Hesaplayıcı |
| n denemede k başarının olasılığı | Binom Dağılımı Hesaplayıcı |
| Yerine koymadan belirli bir karışımı çekme olasılığı | Hipergeometrik Dağılım Hesaplayıcı |
Sık sorulan sorular
- Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark nedir?
- Permütasyon sıralı düzenlemeleri sayar; örneğin kimin birinci, ikinci ve üçüncü bitireceği. Kombinasyon sırasız seçimleri sayar; örneğin bir komitede hangi üç kişinin oturacağı. Aynı n ve r için nPr, nCr'den asla küçük değildir.
- nPr'nin formülü nedir?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, bu da n × (n − 1) × … × (n − r + 1) çarpımına eşittir. 10P3 için bu 10 × 9 × 8 = 720'dir.
- nCr'nin formülü nedir?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), nPr ÷ r!'ye eşittir. 10C3 için bu 720 ÷ 6 = 120'dir.
- Bir piyango kazanma olasılığını nasıl hesaplarım?
- Sıra önemli değilken n sayıdan k sayı seçiyorsanız, olası bilet sayısı nCk'dır. 49'dan 6'lık bir çekilişte 49C6 = 13.983.816'dır; yani bir bilet ikramiyeyi 1 ÷ 13.983.816 olasılıkla kazanır.
- Girdi neden n ≤ 170 ile sınırlı?
- 170!, sıradan kayan noktalı sayılara sığan en büyük faktöriyeldir; 171! sonsuza taşar. Sınır içinde çok büyük sonuçlar bilimsel gösterimle gösterilir ve yaklaşık on beş basamaktan sonra yaklaşıktır.
- Bir kilit kombinasyonu gerçekten bir kombinasyon mudur?
- Hayır. Matematiksel olarak bir permütasyondur, çünkü 1-2-3 ve 3-2-1 farklı kodlardır. Sıra önemlidir, bu yüzden doğru ad “permütasyon kilidi” olurdu.