排列组合计算器
输入项目总数 n 和选取的个数 r,即可并排得到排列数(nPr,顺序重要)和组合数(nCr,顺序不计)。每个结果都会显示公式和计算过程,一段简短的指南说明您的问题应使用哪一个。免费,无需注册。
nPr 与 nCr
排列——顺序重要(10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! 可化简为最前面 3 个因子的乘积:
10 × 9 × 8 = 720
组合——顺序不重要(10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! ——除去每种选择的 6 种排列方式:
720 ÷ 6 = 120
什么时候顺序重要?
顺序重要 → 排列(nPr)。 密码锁是最经典的例子:在一个使用数字 1、2、3 的三位密码锁上,密码 1-2-3 和 3-2-1 是不同的——相同的三个数字以不同的顺序排列将无法打开锁。领奖台名次(第一、第二、第三名)、密码,以及座位安排都是同样的道理。
顺序不重要 → 组合(nCr)。 披萨配料是最经典的例子:一份有蘑菇、橄榄和青椒的披萨,和一份有青椒、橄榄和蘑菇的披萨完全是同一份披萨。委员会成员、彩票号码选择,以及扑克牌组合也是同样的道理。
这就是为什么 nCr 永远不会大于 nPr:每一种从 r 个项目中做出的无序选择,都对应着 r! 种不同的有序排列方式,因此 nCr = nPr ÷ r!。
如何使用排列组合计算器
- 1. 输入 n。 这是可供选择的不同项目总数。计算器接受 0 到 170 之间的整数,初始值为 10。
- 2. 输入 r。 这是您选取的项目数,范围从 0 到 n。初始值为 3。
- 3. 阅读两个结果。 nPr 计算有序排列,nCr 计算无序选择。每张卡片都会显示它的公式、阶乘约分后的乘积,以及答案。
- 4. 选择正确的那一个。 结果下方的面板会用例子说明何时顺序重要。
公式
- 排列数: nPr = n! ÷ (n − r)!。实际计算时即为乘积 n × (n − 1) × … × (n − r + 1),共 r 个因子。
- 组合数: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!。从 r 个项目中的每一种无序选择,都可以排成 r! 种不同的顺序,因此将 nPr 除以 r! 即可去掉重复。
- 两者都假设不重复: 每个项目只能使用一次。允许重复时,有序选取为 nʳ,无序选取为 (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!),本计算器不计算这些。
从 10 项中选 3 项(初始值)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 种有序排列
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 种无序选择
顺序重要吗?四个典型情形
| 情形 | 类型 | 数量 |
|---|---|---|
| 8 名选手中取金、银、铜牌 | 排列,8P3 | 336 |
| 从 10 人中选出 3 人组成委员会 | 组合,10C3 | 120 |
| 从 52 张牌中抽取的五张牌手牌 | 组合,52C5 | 2,598,960 |
| 从 52 名成员中依次填补五个不同的职务 | 排列,52P5 | 311,875,200 |
| 彩票从 49 个数字中抽取 6 个(不计顺序) | 组合,49C6 | 13,983,816 |
每一组 5 个项目的无序选择都可以排成 5! = 120 种顺序,这就是 52P5 ÷ 52C5 = 120 的原因。锁的“密码组合”实际上是排列,因为 1-2-3 和 3-2-1 会打开不同的锁。
需要了解的限制
- n 的上限为 170。 170! 约为 7 × 10³⁰⁶,是普通浮点数能容纳的最大阶乘。超过此值,运算就会溢出。
- 大数结果是近似值。 低于 10¹⁵ 的结果以整数显示。更大的结果以科学记数法显示,约十五位之后的数字不精确,因此如果您需要每一位数字,请使用大整数工具。
- 相同的项目是不同的。 MISSISSIPPI 中字母的排列数不是 11P11,因为重复的字母无法区分。请改为除以每个重复字母出现次数的阶乘。
- 不允许 r 大于 n。 在不重复的前提下,您无法选出多于现有数量的不同项目。
您需要哪个工具?
常见问题
- 排列和组合有什么区别?
- 排列计算有序的安排,例如谁获得第一、第二和第三名。组合计算无序的选择,例如哪三个人组成委员会。对于相同的 n 和 r,nPr 永远不会小于 nCr。
- nPr 的公式是什么?
- nPr = n! ÷ (n − r)!,等于乘积 n × (n − 1) × … × (n − r + 1)。对于 10P3,即 10 × 9 × 8 = 720。
- nCr 的公式是什么?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!),等于 nPr ÷ r!。对于 10C3,即 720 ÷ 6 = 120。
- 如何计算彩票中奖的概率?
- 如果您从 n 个数字中选出 k 个,且不计顺序,那么可能的彩票数为 nCk。在 6 选 49 的抽奖中,49C6 = 13,983,816,因此一张彩票中头奖的概率为 1 ÷ 13,983,816。
- 为什么输入限制为 n ≤ 170?
- 170! 是能放进普通浮点数的最大阶乘;171! 会溢出为无穷大。在此限制内,非常大的结果会以科学记数法显示,并且超过约十五位后即为近似值。
- 锁的密码组合真的是组合吗?
- 不是。从数学上讲,它是排列,因为 1-2-3 和 3-2-1 是不同的密码。顺序重要,因此“排列锁”才是更准确的名称。