Калькулятор перестановок и сочетаний
Введите n (общее количество элементов) и r (количество выбранных элементов), чтобы рассчитать nPr и nCr бок о бок, с формулами факториалов, расписанными с вашими числами, — и простое объяснение того, когда важен порядок.
nPr и nCr
Перестановки — порядок важен (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! сокращается до произведения верхних 3 factors:
10 × 9 × 8 = 720
Сочетания — порядок не важен (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — исключаем 6 вариантов порядка для каждой выборки:
720 ÷ 6 = 120
Когда важен порядок?
Порядок важен → перестановка (nPr). Классический пример — код замка: на 3-значном замке с цифрами 1, 2 и 3 коды 1-2-3 и 3-2-1 различны — те же три цифры в другом порядке не откроют замок. Пьедесталы гонок (1-е, 2-е, 3-е место), пароли и рассадка гостей работают точно так же.
Порядок не важен → сочетание (nCr). Классический пример — начинки для пиццы: пицца с грибами, оливками и перцем — это точно такая же пицца, как и с перцем, оливками и грибами. Комитеты, выбор чисел в лотерее и карточные руки — это тоже сочетания.
Именно поэтому nCr никогда не превышает nPr: каждой неупорядоченной выборке из r элементов соответствует r! различных упорядоченных расстановок, поэтому nCr = nPr ÷ r!.
Часто задаваемые вопросы
- В чём разница между перестановкой и сочетанием?
- Перестановка учитывает упорядоченные расстановки — выбор 1-го, 2-го и 3-го места является перестановкой. Сочетание учитывает неупорядоченные выборки — выбор 3 человек в комитет является сочетанием. При одинаковых n и r значение nPr всегда не меньше nCr.
- Какова формула для nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. На практике это произведение n × (n − 1) × … × (n − r + 1) — именно так этот калькулятор его и вычисляет, без необходимости считать полные факториалы.
- Какова формула для nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Это равно nPr, делённому на r!, потому что каждую неупорядоченную выборку из r элементов можно расположить r! различными способами.
- Почему ввод ограничен значением n ≤ 170?
- 170! — это наибольший факториал, который помещается в число с плавающей точкой JavaScript; 171! переполняется до бесконечности. В пределах лимита очень большие результаты показываются в научной нотации.
- Действительно ли «комбинация» замка является сочетанием?
- Нет — с математической точки зрения это перестановка, потому что 1-2-3 и 3-2-1 открывают разные замки. Порядок важен, поэтому точным названием было бы «замок-перестановка».