Калькулятор перестановок и сочетаний
Введите общее количество элементов n и число выбираемых элементов r, и получите количество перестановок (nPr, порядок важен) и сочетаний (nCr, порядок не важен) бок о бок. Каждый результат показывает свою формулу и ход вычисления, а короткое руководство объясняет, какой из них нужен вашей задаче. Бесплатно, без регистрации.
nPr и nCr
Перестановки — порядок важен (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! сокращается до произведения верхних множителей (3):
10 × 9 × 8 = 720
Сочетания — порядок не важен (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — делим на число порядков каждой выборки (6):
720 ÷ 6 = 120
Когда важен порядок?
Порядок важен → перестановка (nPr). Классический пример — код замка: на 3-значном замке с цифрами 1, 2 и 3 коды 1-2-3 и 3-2-1 различны — те же три цифры в другом порядке не откроют замок. Пьедесталы гонок (1-е, 2-е, 3-е место), пароли и рассадка гостей работают точно так же.
Порядок не важен → сочетание (nCr). Классический пример — начинки для пиццы: пицца с грибами, оливками и перцем — это точно такая же пицца, как и с перцем, оливками и грибами. Комитеты, выбор чисел в лотерее и карточные руки — это тоже сочетания.
Именно поэтому nCr никогда не превышает nPr: каждой неупорядоченной выборке из r элементов соответствует r! различных упорядоченных расстановок, поэтому nCr = nPr ÷ r!.
Как пользоваться калькулятором перестановок и сочетаний
- 1. Введите n. Это общее количество различных элементов, из которых идёт выбор. Калькулятор принимает целые числа от 0 до 170 и стартует с 10.
- 2. Введите r. Сколько элементов вы выбираете, от 0 до n. Стартовое значение — 3.
- 3. Смотрите оба результата. nPr считает упорядоченные расстановки, а nCr — неупорядоченные выборки. Каждая карточка показывает свою формулу, сокращённое произведение, к которому сокращаются факториалы, и ответ.
- 4. Выберите нужный. Панель под результатом объясняет, когда важен порядок, с примерами.
Формулы
- Перестановки: nPr = n! ÷ (n − r)!. На практике это произведение n × (n − 1) × … × (n − r + 1), всего r множителей.
- Сочетания: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Каждую неупорядоченную выборку из r элементов можно расставить r! способами, поэтому деление nPr на r! убирает повторы.
- Оба варианта считают без повторений: каждый элемент можно использовать один раз. Выбор с повторениями даёт nʳ для упорядоченных выборок и (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) для неупорядоченных; этот калькулятор таких случаев не считает.
Выбрать 3 из 10 (стартовые значения)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 упорядоченных расстановок
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 неупорядоченных выборок
Порядок важен или нет? Четыре разобранных случая
| Ситуация | Тип | Количество |
|---|---|---|
| Золото, серебро и бронза среди 8 бегунов | Перестановка, 8P3 | 336 |
| Комитет из 3 человек, выбранных из 10 | Сочетание, 10C3 | 120 |
| Покерные руки из пяти карт из 52 | Сочетание, 52C5 | 2 598 960 |
| Пять разных должностных ролей из 52 членов | Перестановка, 52P5 | 311 875 200 |
| Шесть чисел, вытянутых из 49 в лотерее (порядок не учитывается) | Сочетание, 49C6 | 13 983 816 |
Каждую неупорядоченную группу из 5 можно упорядочить 5! = 120 способами, поэтому 52P5 ÷ 52C5 = 120. «Комбинация» кодового замка на самом деле является перестановкой, потому что 1-2-3 и 3-2-1 открывают разные замки.
Ограничения
- n ограничено 170. 170! — это около 7 × 10³⁰⁶, наибольший факториал, который вмещает обычное число с плавающей точкой. За этим пределом вычисления переполняются.
- Большие ответы приблизительны. Результаты меньше 10¹⁵ показываются целыми числами. Выше этого они выводятся в научной нотации, а цифры дальше примерно пятнадцатой не точны, поэтому если вам нужны все цифры, используйте инструмент для длинной арифметики.
- Одинаковые элементы требуют поправки. Расстановки букв в слове MISSISSIPPI — это не 11P11, потому что одинаковые буквы неотличимы. Вместо этого разделите на факториал числа повторов каждой буквы.
- r больше n недопустимо. Без повторений нельзя выбрать больше различных элементов, чем у вас есть.
Какой инструмент вам нужен?
| Вам нужно | Используйте |
|---|---|
| Количество упорядоченных или неупорядоченных выборок | Этот калькулятор перестановок и сочетаний |
| Вероятность благоприятного исхода | Калькулятор вероятности |
| Само n! | Factorial Calculator |
| Вероятность k успехов в n испытаниях | Binomial Distribution Calculator |
| Вероятность получить заданный набор без возвращения | Hypergeometric Distribution Calculator |
Часто задаваемые вопросы
- В чём разница между перестановкой и сочетанием?
- Перестановка считает упорядоченные расстановки — например, кто придёт первым, вторым и третьим. Сочетание считает неупорядоченные выборки — например, каких трёх человек включат в комитет. При одинаковых n и r значение nPr никогда не меньше nCr.
- Какова формула nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, что равно произведению n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Для 10P3 это 10 × 9 × 8 = 720.
- Какова формула nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), что равно nPr ÷ r!. Для 10C3 это 720 ÷ 6 = 120.
- Как посчитать шансы выиграть в лотерею?
- Если вы выбираете k чисел из n и порядок не важен, число возможных билетов равно nCk. В розыгрыше «6 из 49» 49C6 = 13 983 816, поэтому один билет выигрывает джекпот с вероятностью 1 ÷ 13 983 816.
- Почему ввод ограничен значением n ≤ 170?
- 170! — наибольший факториал, который помещается в обычные числа с плавающей точкой; 171! переполняется до бесконечности. В пределах ограничения очень большие результаты показываются в научной нотации и приблизительны начиная примерно с пятнадцатого знака.
- Действительно ли «комбинация» замка является сочетанием?
- Нет. Математически это перестановка, потому что 1-2-3 и 3-2-1 — разные коды. Порядок важен, поэтому точнее было бы назвать такой замок «перестановочным».