Công Cụ Tính Chỉnh Hợp & Tổ Hợp
Nhập n (tổng số mục) và r (số mục được chọn) để tính nPr và nCr cạnh nhau, với các công thức giai thừa được giải chi tiết bằng các con số của bạn — và một lời giải thích đơn giản, dễ hiểu về thời điểm thứ tự quan trọng.
nPr và nCr
Chỉnh hợp — thứ tự quan trọng (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! rút gọn thành tích của 3 thừa số hàng đầu:
10 × 9 × 8 = 720
Tổ hợp — bỏ qua thứ tự (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — chia bỏ 6 cách sắp xếp của mỗi lựa chọn:
720 ÷ 6 = 120
Khi nào thứ tự quan trọng?
Thứ tự quan trọng → chỉnh hợp (nPr). Mã khóa là ví dụ kinh điển: trên một ổ khóa 3 chữ số sử dụng các chữ số 1, 2, và 3, mã 1-2-3 và 3-2-1 là khác nhau — cùng ba chữ số theo thứ tự khác nhau sẽ không mở được khóa. Bục xếp hạng đua (thứ 1, thứ 2, thứ 3), mật khẩu, và cách sắp xếp chỗ ngồi đều hoạt động theo cách tương tự.
Thứ tự không quan trọng → tổ hợp (nCr). Lớp phủ pizza là ví dụ kinh điển: một chiếc pizza với nấm, ô liu, và ớt chuông chính xác là chiếc pizza giống như một chiếc có ớt chuông, ô liu, và nấm. Ủy ban, lựa chọn số xổ số, và các bộ bài cũng là tổ hợp.
Đó là lý do tại sao nCr không bao giờ lớn hơn nPr: mỗi lựa chọn không có thứ tự của r mục tương ứng với r! cách sắp xếp có thứ tự khác nhau, vì vậy nCr = nPr ÷ r!.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Sự khác biệt giữa chỉnh hợp và tổ hợp là gì?
- Một chỉnh hợp đếm các sắp xếp có thứ tự — chọn vị trí thứ 1, thứ 2, và thứ 3 là một chỉnh hợp. Một tổ hợp đếm các lựa chọn không có thứ tự — chọn 3 người cho một ủy ban là một tổ hợp. Với cùng n và r, nPr luôn ít nhất bằng nCr.
- Công thức cho nPr là gì?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. Trong thực tế đó là tích n × (n − 1) × … × (n − r + 1), chính xác là cách công cụ tính toán này tính nó — không cần giai thừa đầy đủ.
- Công thức cho nCr là gì?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Nó bằng nPr chia cho r!, vì mỗi lựa chọn không có thứ tự của r mục có thể được sắp xếp theo r! cách khác nhau.
- Tại sao đầu vào bị giới hạn ở n ≤ 170?
- 170! là giai thừa lớn nhất vừa với một số dấu phẩy động JavaScript; 171! tràn thành vô cực. Trong giới hạn, các kết quả rất lớn được hiển thị bằng ký hiệu khoa học.
- 'Combination' của một ổ khóa có thực sự là một tổ hợp không?
- Không — về mặt toán học nó là một chỉnh hợp, vì 1-2-3 và 3-2-1 mở các ổ khóa khác nhau. Thứ tự quan trọng, vì vậy "ổ khóa chỉnh hợp" sẽ là tên chính xác.