Công Cụ Tính Chỉnh Hợp & Tổ Hợp
Nhập tổng số mục n và số mục bạn chọn r, rồi nhận số chỉnh hợp (nPr, thứ tự quan trọng) và số tổ hợp (nCr, bỏ qua thứ tự) cạnh nhau. Mỗi kết quả hiển thị công thức và cách tính, và một hướng dẫn ngắn giải thích bài toán của bạn cần cái nào. Miễn phí, không cần đăng ký.
nPr và nCr
Chỉnh hợp — thứ tự quan trọng (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! rút gọn thành tích của 3 thừa số hàng đầu:
10 × 9 × 8 = 720
Tổ hợp — bỏ qua thứ tự (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — chia bỏ 6 cách sắp xếp của mỗi lựa chọn:
720 ÷ 6 = 120
Khi nào thứ tự quan trọng?
Thứ tự quan trọng → chỉnh hợp (nPr). Mã khóa là ví dụ kinh điển: trên một ổ khóa 3 chữ số sử dụng các chữ số 1, 2, và 3, mã 1-2-3 và 3-2-1 là khác nhau — cùng ba chữ số theo thứ tự khác nhau sẽ không mở được khóa. Bục xếp hạng đua (thứ 1, thứ 2, thứ 3), mật khẩu, và cách sắp xếp chỗ ngồi đều hoạt động theo cách tương tự.
Thứ tự không quan trọng → tổ hợp (nCr). Lớp phủ pizza là ví dụ kinh điển: một chiếc pizza với nấm, ô liu, và ớt chuông chính xác là chiếc pizza giống như một chiếc có ớt chuông, ô liu, và nấm. Ủy ban, lựa chọn số xổ số, và các bộ bài cũng là tổ hợp.
Đó là lý do tại sao nCr không bao giờ lớn hơn nPr: mỗi lựa chọn không có thứ tự của r mục tương ứng với r! cách sắp xếp có thứ tự khác nhau, vì vậy nCr = nPr ÷ r!.
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Chỉnh Hợp & Tổ Hợp
- 1. Nhập n. Đây là tổng số mục khác nhau để chọn. Công cụ nhận số nguyên từ 0 đến 170 và bắt đầu với 10.
- 2. Nhập r. Đây là số mục bạn chọn, từ 0 đến n. Giá trị bắt đầu là 3.
- 3. Đọc cả hai kết quả. nPr đếm các sắp xếp có thứ tự và nCr đếm các lựa chọn không có thứ tự. Mỗi thẻ hiển thị công thức, tích rút gọn mà các giai thừa triệt tiêu về, và đáp án.
- 4. Chọn đúng loại. Khung bên dưới kết quả giải thích khi nào thứ tự quan trọng, kèm ví dụ.
Các Công Thức
- Chỉnh hợp: nPr = n! ÷ (n − r)!. Trên thực tế đây là tích n × (n − 1) × … × (n − r + 1), gồm r thừa số.
- Tổ hợp: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Mỗi lựa chọn không có thứ tự gồm r mục có thể được sắp xếp theo r! cách, nên chia nPr cho r! sẽ loại bỏ các cách trùng lặp.
- Cả hai đều giả định không lặp: mỗi mục chỉ được dùng một lần. Chọn có lặp dùng nʳ cho các lựa chọn có thứ tự và (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) cho các lựa chọn không có thứ tự, mà công cụ này không tính.
Chọn 3 từ 10 (các giá trị khởi đầu)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 sắp xếp có thứ tự
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 lựa chọn không có thứ tự
Thứ Tự Có Quan Trọng Không? Bốn Trường Hợp Minh Họa
| Tình huống | Loại | Số đếm |
|---|---|---|
| Huy chương vàng, bạc và đồng trong 8 vận động viên | Chỉnh hợp, 8P3 | 336 |
| Một ủy ban gồm 3 người được chọn từ 10 người | Tổ hợp, 10C3 | 120 |
| Các ván poker năm lá từ 52 lá bài | Tổ hợp, 52C5 | 2.598.960 |
| Năm chức vụ khác nhau được bổ nhiệm từ 52 thành viên | Chỉnh hợp, 52P5 | 311.875.200 |
| Sáu số được rút từ 49 trong xổ số (bỏ qua thứ tự) | Tổ hợp, 49C6 | 13.983.816 |
Mỗi nhóm không có thứ tự gồm 5 mục có thể được sắp xếp theo 5! = 120 cách, đó là lý do vì sao 52P5 ÷ 52C5 = 120. Một "mã" ổ khóa thực ra là chỉnh hợp, vì 1-2-3 và 3-2-1 mở các ổ khóa khác nhau.
Giới Hạn Cần Biết
- n được giới hạn ở 170. 170! khoảng 7 × 10³⁰⁶, là giai thừa lớn nhất mà số dấu phẩy động thông thường có thể chứa. Vượt quá giới hạn này, phép tính bị tràn.
- Các đáp án lớn chỉ là xấp xỉ. Kết quả dưới 10¹⁵ được hiển thị dưới dạng số nguyên. Trên mức đó, chúng xuất hiện dưới dạng ký hiệu khoa học, và các chữ số sau khoảng mười lăm chữ số không chính xác, nên hãy dùng công cụ số nguyên lớn nếu bạn cần mọi chữ số.
- Các mục giống nhau vẫn là khác nhau. Số cách sắp xếp các chữ cái trong MISSISSIPPI không phải là 11P11, vì các chữ cái lặp lại không thể phân biệt. Hãy chia cho giai thừa của số lần lặp của mỗi chữ.
- r lớn hơn n không được phép. Bạn không thể chọn nhiều mục khác nhau hơn số mục bạn có nếu không lặp lại.
Bạn Cần Công Cụ Nào?
| Bạn muốn | Dùng |
|---|---|
| Số lựa chọn có thứ tự hoặc không có thứ tự | Công Cụ Tính Chỉnh Hợp & Tổ Hợp này |
| Xác suất của một kết quả thuận lợi | Công Cụ Tính Xác Suất |
| Riêng n! | Công Cụ Tính Giai Thừa |
| Xác suất có k lần thành công trong n lần thử | Công Cụ Tính Phân Phối Nhị Thức |
| Xác suất rút được một tổ hợp cho trước khi không hoàn lại | Công Cụ Tính Phân Phối Siêu Bội |
Câu Hỏi Thường Gặp
- Khác biệt giữa chỉnh hợp và tổ hợp là gì?
- Chỉnh hợp đếm các sắp xếp có thứ tự, chẳng hạn ai về nhất, nhì và ba. Tổ hợp đếm các lựa chọn không có thứ tự, chẳng hạn ba người nào ngồi trong một ủy ban. Với cùng n và r, nPr không bao giờ nhỏ hơn nCr.
- Công thức của nPr là gì?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, bằng tích n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Với 10P3 thì đó là 10 × 9 × 8 = 720.
- Công thức của nCr là gì?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), bằng nPr ÷ r!. Với 10C3 thì đó là 720 ÷ 6 = 120.
- Làm thế nào để tính tỷ lệ trúng xổ số?
- Nếu bạn chọn k số từ n và thứ tự không quan trọng, số vé có thể có là nCk. Một kỳ quay 6 trong 49 có 49C6 = 13.983.816, nên một vé trúng giải độc đắc với xác suất 1 ÷ 13.983.816.
- Tại sao đầu vào bị giới hạn ở n ≤ 170?
- 170! là giai thừa lớn nhất vừa với số dấu phẩy động thông thường; 171! tràn thành vô cực. Trong giới hạn, các kết quả rất lớn được hiển thị dưới dạng ký hiệu khoa học và chỉ là xấp xỉ sau khoảng mười lăm chữ số.
- Mật mã của ổ khóa có thực sự là tổ hợp không?
- Không. Về mặt toán học đó là chỉnh hợp, vì 1-2-3 và 3-2-1 là hai mã khác nhau. Thứ tự quan trọng, nên "ổ khóa chỉnh hợp" mới là tên chính xác.