Permutatie- en Combinatiecalculator
Voer het totale aantal items n en het aantal dat je kiest r in, en krijg het aantal permutaties (nPr, volgorde telt) en combinaties (nCr, volgorde telt niet) naast elkaar. Elk resultaat toont zijn formule en de berekening, en een korte uitleg laat zien welke van de twee je probleem nodig heeft. Gratis, zonder registratie.
nPr en nCr
Permutaties — volgorde telt (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! valt weg tot het product van de bovenste 3 factoren:
10 × 9 × 8 = 720
Combinaties — volgorde genegeerd (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — deel de 6 volgordes van elke selectie weg:
720 ÷ 6 = 120
Wanneer telt de volgorde?
Volgorde telt → permutatie (nPr). Een slotcode is het klassieke voorbeeld: bij een slot met 3 cijfers dat de cijfers 1, 2 en 3 gebruikt, zijn de codes 1-2-3 en 3-2-1 verschillend — dezelfde drie cijfers in een andere volgorde openen het slot niet. Podiumplaatsen (1e, 2e, 3e), wachtwoorden en zitindelingen werken allemaal op dezelfde manier.
Volgorde telt niet → combinatie (nCr). Pizzabeleg is het klassieke voorbeeld: een pizza met champignons, olijven en paprika is precies dezelfde pizza als een met paprika, olijven en champignons. Commissies, loterijgetallen en kaartspelhanden zijn ook combinaties.
Daarom is nCr nooit groter dan nPr: elke ongeordende selectie van r items komt overeen met r! verschillende geordende schikkingen, dus nCr = nPr ÷ r!.
Zo gebruik je de permutatie- en combinatiecalculator
- 1. Voer n in. Dit is het totale aantal verschillende items om uit te kiezen. De calculator accepteert gehele getallen van 0 tot 170 en start bij 10.
- 2. Voer r in. Dit is hoeveel items je kiest, van 0 tot en met n. Het begint bij 3.
- 3. Lees beide resultaten. nPr telt geordende schikkingen en nCr telt ongeordende selecties. Elke kaart toont zijn formule, het verkorte product waarop de faculteiten wegvallen, en het antwoord.
- 4. Kies de juiste. Het paneel onder het resultaat legt uit wanneer de volgorde telt, met voorbeelden.
De formules
- Permutaties: nPr = n! ÷ (n − r)!. In de praktijk is dit het product n × (n − 1) × … × (n − r + 1), in totaal r factoren.
- Combinaties: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Elke ongeordende selectie van r items kan op r! manieren worden geordend, dus delen door r! haalt de herhalingen weg.
- Beide gaan uit van geen herhaling: elk item kan één keer worden gebruikt. Kiezen met herhaling gebruikt nʳ voor geordende keuzes en (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) voor ongeordende, wat deze calculator niet berekent.
Kies 3 uit 10 (de startwaarden)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 geordende schikkingen
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 ongeordende selecties
Telt de volgorde of niet? Vier uitgewerkte gevallen
| Situatie | Type | Aantal |
|---|---|---|
| Goud, zilver en brons onder 8 renners | Permutatie, 8P3 | 336 |
| Een commissie van 3 gekozen uit 10 personen | Combinatie, 10C3 | 120 |
| Pokerhands van vijf kaarten uit 52 kaarten | Combinatie, 52C5 | 2.598.960 |
| Vijf verschillende functies bezet uit 52 leden | Permutatie, 52P5 | 311.875.200 |
| Zes getallen getrokken uit 49 in een loterij (volgorde genegeerd) | Combinatie, 49C6 | 13.983.816 |
Elke ongeordende groep van 5 kan op 5! = 120 manieren worden geordend, daarom is 52P5 ÷ 52C5 = 120. Een slot-"combinatie" is eigenlijk een permutatie, omdat 1-2-3 en 3-2-1 verschillende sloten openen.
Grenzen om te kennen
- n is begrensd op 170. 170! is ongeveer 7 × 10³⁰⁶, de grootste faculteit die een gewoon drijvendekommagetal aankan. Daarboven loopt de berekening over.
- Grote antwoorden zijn benaderingen. Resultaten onder 10¹⁵ worden als gehele getallen getoond. Daarboven verschijnen ze in wetenschappelijke notatie, en cijfers na ongeveer vijftien zijn niet exact; gebruik een tool voor grote gehele getallen als je elk cijfer nodig hebt.
- Identieke items zijn verschillend. De rangschikkingen van de letters in MISSISSIPPI zijn niet 11P11, omdat herhaalde letters niet te onderscheiden zijn. Deel in plaats daarvan door de faculteit van het aantal keer dat elke letter voorkomt.
- r groter dan n is niet toegestaan. Je kunt zonder herhaling niet meer verschillende items kiezen dan je hebt.
Welke tool heb je nodig?
| Je wilt | Gebruik |
|---|---|
| Het aantal geordende of ongeordende selecties | Deze permutatie- en combinatiecalculator |
| De kans op een gunstige uitkomst | Kanscalculator |
| n! op zichzelf | Factorial Calculator |
| De kans op k successen in n pogingen | Binomial Distribution Calculator |
| De kans op een gegeven mix bij trekken zonder terugleggen | Hypergeometric Distribution Calculator |
Veelgestelde vragen
- Wat is het verschil tussen een permutatie en een combinatie?
- Een permutatie telt geordende schikkingen, zoals wie als eerste, tweede en derde eindigt. Een combinatie telt ongeordende selecties, zoals welke drie personen in een commissie zitten. Voor dezelfde n en r is nPr nooit kleiner dan nCr.
- Wat is de formule voor nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, wat gelijk is aan het product n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Voor 10P3 is dat 10 × 9 × 8 = 720.
- Wat is de formule voor nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), gelijk aan nPr ÷ r!. Voor 10C3 is dat 720 ÷ 6 = 120.
- Hoe bereken ik de kans om de loterij te winnen?
- Als je k getallen kiest uit n en de volgorde niet telt, is het aantal mogelijke loten nCk. Bij een trekking van 6 uit 49 is 49C6 = 13.983.816, dus één lot wint de jackpot met een kans van 1 ÷ 13.983.816.
- Waarom is de invoer beperkt tot n ≤ 170?
- 170! is de grootste faculteit die in gewone drijvende-kommagetallen past; 171! loopt over naar oneindig. Binnen de limiet worden zeer grote resultaten in wetenschappelijke notatie getoond en zijn ze na ongeveer vijftien cijfers benaderend.
- Is een slotcombinatie echt een combinatie?
- Nee. Wiskundig gezien is het een permutatie, omdat 1-2-3 en 3-2-1 verschillende codes zijn. De volgorde telt, dus "permutatieslot" zou de juiste naam zijn.