Kalkulator Permutasi dan Kombinasi
Masukkan jumlah total item n dan jumlah yang Anda pilih r, lalu dapatkan jumlah permutasi (nPr, urutan penting) dan kombinasi (nCr, urutan diabaikan) secara berdampingan. Setiap hasil menampilkan rumus dan langkahnya, dan panduan singkat menjelaskan mana yang dibutuhkan masalah Anda. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
nPr dan nCr
Permutasi — urutan penting (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! disederhanakan menjadi hasil kali 3 faktor teratas:
10 × 9 × 8 = 720
Kombinasi — urutan diabaikan (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — bagi dengan 6 urutan dari setiap pemilihan:
720 ÷ 6 = 120
Kapan urutan itu penting?
Urutan penting → permutasi (nPr). Kode gembok adalah contoh klasiknya: pada gembok 3 digit menggunakan angka 1, 2, dan 3, kode 1-2-3 dan 3-2-1 berbeda — tiga angka yang sama dalam urutan berbeda tidak akan membuka gembok tersebut. Podium balapan (juara 1, 2, 3), kata sandi, dan susunan tempat duduk semuanya bekerja dengan cara yang sama.
Urutan tidak penting → kombinasi (nCr). Topping pizza adalah contoh klasiknya: pizza dengan jamur, zaitun, dan paprika adalah pizza yang persis sama dengan pizza berisi paprika, zaitun, dan jamur. Komite, pilihan angka lotre, dan kartu di tangan juga merupakan kombinasi.
Itulah sebabnya nCr tidak pernah lebih besar dari nPr: setiap pemilihan r item yang tidak berurutan berkorespondensi dengan r! susunan berurutan yang berbeda, sehingga nCr = nPr ÷ r!.
Cara Menggunakan Kalkulator Permutasi dan Kombinasi
- 1. Masukkan n. Ini adalah jumlah total item yang berbeda untuk dipilih. Kalkulator menerima bilangan bulat dari 0 hingga 170 dan dimulai dari 10.
- 2. Masukkan r. Ini adalah jumlah item yang Anda pilih, dari 0 hingga n. Dimulai dari 3.
- 3. Baca kedua hasil. nPr menghitung susunan berurutan dan nCr menghitung pemilihan tanpa urutan. Setiap kartu menampilkan rumusnya, hasil kali yang disederhanakan dari faktorial, dan jawabannya.
- 4. Pilih yang sesuai. Panel di bawah hasil menjelaskan kapan urutan itu penting, dengan contoh.
Rumus-Rumus
- Permutasi: nPr = n! ÷ (n − r)!. Dalam praktik, ini adalah hasil kali n × (n − 1) × … × (n − r + 1), dengan r faktor seluruhnya.
- Kombinasi: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Setiap pemilihan tanpa urutan dari r item dapat disusun dalam r! cara, sehingga membagi nPr dengan r! menghilangkan pengulangan.
- Keduanya mengasumsikan tanpa pengulangan: setiap item hanya dapat digunakan sekali. Memilih dengan pengulangan menggunakan nʳ untuk pilihan berurutan dan (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) untuk pilihan tanpa urutan, yang tidak dihitung oleh kalkulator ini.
Pilih 3 dari 10 (nilai awal)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 susunan berurutan
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 pemilihan tanpa urutan
Urutan Penting atau Tidak? Empat Kasus
| Situasi | Jenis | Jumlah |
|---|---|---|
| Emas, perak, dan perunggu di antara 8 pelari | Permutasi, 8P3 | 336 |
| Komite beranggota 3 orang dipilih dari 10 orang | Kombinasi, 10C3 | 120 |
| Tangan poker lima kartu dari 52 kartu | Kombinasi, 52C5 | 2.598.960 |
| Lima jabatan berbeda diisi dari 52 anggota | Permutasi, 52P5 | 311.875.200 |
| Enam angka diundi dari 49 dalam lotre (urutan diabaikan) | Kombinasi, 49C6 | 13.983.816 |
Setiap kelompok 5 yang tidak berurutan dapat disusun dalam 5! = 120 cara, itulah sebabnya 52P5 ÷ 52C5 = 120. "Kombinasi" pada gembok sebenarnya adalah permutasi, karena 1-2-3 dan 3-2-1 membuka gembok yang berbeda.
Batasan yang Perlu Diketahui
- n dibatasi hingga 170. 170! kira-kira 7 × 10³⁰⁶, faktorial terbesar yang dapat ditampung bilangan floating-point biasa. Melebihinya, perhitungan meluap.
- Hasil besar bersifat perkiraan. Hasil di bawah 10¹⁵ ditampilkan sebagai bilangan bulat. Di atas itu hasil ditampilkan dalam notasi ilmiah, dan digit setelah sekitar lima belas digit tidak tepat, sehingga gunakan alat bilangan bulat besar jika Anda memerlukan setiap digit.
- Item yang sama tidak dapat dibedakan. Susunan huruf dalam MISSISSIPPI bukan 11P11, karena huruf yang berulang tidak dapat dibedakan. Bagi dengan faktorial dari jumlah setiap pengulangan.
- r tidak boleh lebih besar dari n. Anda tidak dapat memilih lebih banyak item berbeda daripada yang Anda miliki tanpa pengulangan.
Alat Mana yang Anda Butuhkan?
| Anda membutuhkan | Gunakan |
|---|---|
| Jumlah pemilihan berurutan atau tanpa urutan | Kalkulator Permutasi dan Kombinasi ini |
| Peluang suatu hasil yang menguntungkan | Kalkulator Probabilitas |
| n! saja | Kalkulator Faktorial |
| Peluang k keberhasilan dalam n percobaan | Kalkulator Distribusi Binomial |
| Peluang mengambil campuran tertentu tanpa pengembalian | Kalkulator Distribusi Hipergeometrik |
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Apa perbedaan antara permutasi dan kombinasi?
- Permutasi menghitung susunan berurutan, misalnya siapa yang finis pertama, kedua, dan ketiga. Kombinasi menghitung pemilihan tanpa urutan, misalnya siapa tiga orang yang duduk di komite. Untuk n dan r yang sama, nPr tidak pernah lebih kecil dari nCr.
- Apa rumus nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, yang sama dengan hasil kali n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Untuk 10P3 itu adalah 10 × 9 × 8 = 720.
- Apa rumus nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), yang sama dengan nPr ÷ r!. Untuk 10C3 itu adalah 720 ÷ 6 = 120.
- Bagaimana cara menghitung peluang menang lotre?
- Jika Anda memilih k angka dari n dan urutan tidak penting, jumlah tiket yang mungkin adalah nCk. Undian 6 dari 49 memiliki 49C6 = 13.983.816, sehingga satu tiket menang hadiah utama dengan peluang 1 ÷ 13.983.816.
- Mengapa masukan dibatasi n ≤ 170?
- 170! adalah faktorial terbesar yang muat dalam bilangan floating-point biasa; 171! meluap menjadi tak hingga. Dalam batas ini, hasil yang sangat besar ditampilkan dalam notasi ilmiah dan bersifat perkiraan di atas sekitar lima belas digit.
- Apakah kombinasi gembok benar-benar kombinasi?
- Tidak. Secara matematis itu adalah permutasi, karena 1-2-3 dan 3-2-1 adalah kode yang berbeda. Urutan penting, sehingga "gembok permutasi" akan menjadi nama yang lebih tepat.