Permutations- & Kombinationsrechner
Geben Sie die Gesamtzahl der Elemente n und die Anzahl der gewählten Elemente r ein, und erhalten Sie die Anzahl der Permutationen (nPr, Reihenfolge zählt) und der Kombinationen (nCr, Reihenfolge ignoriert) nebeneinander. Jedes Ergebnis zeigt seine Formel und den Rechenweg; ein kurzer Ratgeber erklärt, welche davon Ihr Problem braucht. Kostenlos, ohne Anmeldung.
nPr und nCr
Permutationen — Reihenfolge zählt (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! kürzt sich zum Produkt der obersten 3 Faktoren:
10 × 9 × 8 = 720
Kombinationen — Reihenfolge ignoriert (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — teilen Sie die 6 Anordnungen jeder Auswahl heraus:
720 ÷ 6 = 120
Wann zählt die Reihenfolge?
Reihenfolge zählt → Permutation (nPr). Ein Schlosscode ist das klassische Beispiel: Bei einem 3-stelligen Schloss mit den Ziffern 1, 2 und 3 sind die Codes 1-2-3 und 3-2-1 unterschiedlich — dieselben drei Ziffern in anderer Reihenfolge öffnen das Schloss nicht. Siegertreppchen (1., 2., 3. Platz), Passwörter und Sitzordnungen funktionieren alle gleich.
Reihenfolge zählt nicht → Kombination (nCr). Pizzabeläge sind das klassische Beispiel: Eine Pizza mit Pilzen, Oliven und Paprika ist genau dieselbe Pizza wie eine mit Paprika, Oliven und Pilzen. Ausschüsse, Lottozahlen und Kartenhände sind ebenfalls Kombinationen.
Deshalb ist nCr nie größer als nPr: Jede ungeordnete Auswahl von r Elementen entspricht r! verschiedenen geordneten Anordnungen, sodass nCr = nPr ÷ r! gilt.
So verwenden Sie den Permutations- und Kombinationsrechner
- 1. Geben Sie n ein. Das ist die Gesamtzahl der verschiedenen Elemente, aus denen Sie wählen. Der Rechner akzeptiert ganze Zahlen von 0 bis 170 und beginnt mit 10.
- 2. Geben Sie r ein. Das ist die Anzahl der Elemente, die Sie auswählen, von 0 bis n. Er beginnt mit 3.
- 3. Lesen Sie beide Ergebnisse. nPr zählt geordnete Anordnungen, nCr zählt ungeordnete Auswahlen. Jede Karte zeigt ihre Formel, das gekürzte Produkt, auf das sich die Fakultäten reduzieren, und die Antwort.
- 4. Wählen Sie das passende Ergebnis. Die Box unter dem Ergebnis erklärt mit Beispielen, wann die Reihenfolge zählt.
Die Formeln
- Permutationen: nPr = n! ÷ (n − r)!. In der Praxis ist das das Produkt n × (n − 1) × … × (n − r + 1) mit insgesamt r Faktoren.
- Kombinationen: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Jede ungeordnete Auswahl von r Elementen lässt sich auf r! Arten anordnen; das Teilen von nPr durch r! entfernt die Doppelzählungen.
- Beide setzen keine Wiederholung voraus: Jedes Element darf nur einmal verwendet werden. Auswahl mit Wiederholung ergibt nʳ für geordnete Auswahlen und (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) für ungeordnete; das berechnet dieser Rechner nicht.
3 aus 10 wählen (die Startwerte)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 geordnete Anordnungen
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 ungeordnete Auswahlen
Reihenfolge zählt oder nicht? Vier Fälle mit Beispielen
| Situation | Typ | Anzahl |
|---|---|---|
| Gold, Silber und Bronze unter 8 Läufern | Permutation, 8P3 | 336 |
| Ein Komitee aus 3 Personen, gewählt aus 10 | Kombination, 10C3 | 120 |
| Fünf-Karten-Pokerhände aus 52 Karten | Kombination, 52C5 | 2.598.960 |
| Fünf verschiedene Ämter, besetzt aus 52 Mitgliedern | Permutation, 52P5 | 311.875.200 |
| Sechs Zahlen aus 49 bei einer Lotterie (Reihenfolge ignoriert) | Kombination, 49C6 | 13.983.816 |
Jede ungeordnete Gruppe von 5 Elementen lässt sich auf 5! = 120 Arten ordnen, deshalb gilt 52P5 ÷ 52C5 = 120. Eine Schloss-„Kombination“ ist eigentlich eine Permutation, denn 1-2-3 und 3-2-1 öffnen unterschiedliche Schlösser.
Grenzen, die Sie kennen sollten
- n ist auf 170 begrenzt. 170! ist etwa 7 × 10³⁰⁶, die größte Fakultät, die eine gewöhnliche Gleitkommazahl aufnehmen kann. Darüber hinaus läuft die Rechnung über.
- Große Ergebnisse sind Näherungen. Ergebnisse unter 10¹⁵ werden als ganze Zahlen angezeigt. Darüber erscheinen sie in wissenschaftlicher Notation, und Ziffern ab etwa der fünfzehnten sind nicht exakt; wenn Sie jede Ziffer benötigen, verwenden Sie ein Werkzeug für große Ganzzahlen.
- Gleiche Elemente sind unterschiedlich. Die Anordnungen der Buchstaben in MISSISSIPPI sind nicht 11P11, weil wiederholte Buchstaben nicht unterscheidbar sind. Teilen Sie stattdessen durch die Fakultät jeder Wiederholungszahl.
- r größer als n ist nicht erlaubt. Ohne Wiederholung können Sie nicht mehr verschiedene Elemente wählen, als Sie haben.
Welches Tool brauchen Sie?
| Sie möchten | Verwenden Sie |
|---|---|
| Die Anzahl geordneter oder ungeordneter Auswahlen | Diesen Permutations- und Kombinationsrechner |
| Die Wahrscheinlichkeit eines günstigen Ergebnisses | Wahrscheinlichkeitsrechner |
| n! allein | Fakultätsrechner |
| Die Chance auf k Erfolge bei n Versuchen | Binomialverteilungsrechner |
| Die Chance, eine bestimmte Mischung ohne Zurücklegen zu ziehen | Hypergeometrische-Verteilung-Rechner |
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
- Eine Permutation zählt geordnete Anordnungen, etwa wer als Erster, Zweiter und Dritter ins Ziel kommt. Eine Kombination zählt ungeordnete Auswahlen, etwa welche drei Personen in einem Komitee sitzen. Bei gleichem n und r ist nPr nie kleiner als nCr.
- Wie lautet die Formel für nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, was dem Produkt n × (n − 1) × … × (n − r + 1) entspricht. Für 10P3 ist das 10 × 9 × 8 = 720.
- Wie lautet die Formel für nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), gleich nPr ÷ r!. Für 10C3 ist das 720 ÷ 6 = 120.
- Wie berechne ich die Gewinnchance bei einer Lotterie?
- Wählen Sie k Zahlen aus n und ist die Reihenfolge egal, ist die Zahl der möglichen Tipps nCk. Bei einer Ziehung 6 aus 49 gibt es 49C6 = 13.983.816 Möglichkeiten; ein Tipp gewinnt den Hauptgewinn also mit der Wahrscheinlichkeit 1 ÷ 13.983.816.
- Warum ist die Eingabe auf n ≤ 170 begrenzt?
- 170! ist die größte Fakultät, die in gewöhnliche Gleitkommazahlen passt; 171! läuft zu unendlich über. Innerhalb der Grenze werden sehr große Ergebnisse in wissenschaftlicher Notation angezeigt und sind ab etwa fünfzehn Ziffern näherungsweise.
- Ist eine Schlosskombination wirklich eine Kombination?
- Nein. Mathematisch ist es eine Permutation, denn 1-2-3 und 3-2-1 sind unterschiedliche Codes. Die Reihenfolge zählt, daher wäre „Permutationsschloss“ der genaue Name.