Permutations- & Kombinationsrechner
Geben Sie n (Gesamtanzahl Elemente) und r (ausgewählte Elemente) ein, um nPr und nCr nebeneinander zu berechnen, mit den Fakultätsformeln, die mit Ihren Zahlen ausgearbeitet werden — und einer verständlichen Erklärung, wann die Reihenfolge zählt.
nPr und nCr
Permutationen — Reihenfolge zählt (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! kürzt sich zum Produkt der obersten 3 Faktoren:
10 × 9 × 8 = 720
Kombinationen — Reihenfolge ignoriert (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — teile die 6 Anordnungen jeder Auswahl heraus:
720 ÷ 6 = 120
Wann zählt die Reihenfolge?
Reihenfolge zählt → Permutation (nPr). Ein Schlosscode ist das klassische Beispiel: Bei einem 3-stelligen Schloss mit den Ziffern 1, 2, und 3 sind die Codes 1-2-3 und 3-2-1 unterschiedlich — dieselben drei Ziffern in anderer Reihenfolge öffnen das Schloss nicht. Siegertreppchen (1., 2., 3. Platz), Passwörter, und Sitzordnungen funktionieren alle gleich.
Reihenfolge zählt nicht → Kombination (nCr). Pizzabeläge sind das klassische Beispiel: Eine Pizza mit Pilzen, Oliven, und Paprika ist genau dieselbe Pizza wie eine mit Paprika, Oliven, und Pilzen. Ausschüsse, Lottozahlenziehungen, und Kartenhände sind ebenfalls Kombinationen.
Deshalb ist nCr nie größer als nPr: Jede ungeordnete Auswahl von r Elementen entspricht r! verschiedenen geordneten Anordnungen, sodass nCr = nPr ÷ r! gilt.
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
- Eine Permutation zählt geordnete Anordnungen — die Wahl von 1., 2., und 3. Platz ist eine Permutation. Eine Kombination zählt ungeordnete Auswahlen — die Wahl von 3 Personen für ein Komitee ist eine Kombination. Für dieselben n und r ist nPr immer mindestens so groß wie nCr.
- Was ist die Formel für nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. In der Praxis ist das das Produkt n × (n − 1) × … × (n − r + 1), was genau so ist, wie dieser Rechner es berechnet — keine vollständigen Fakultäten nötig.
- Was ist die Formel für nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Es entspricht nPr geteilt durch r!, weil jede ungeordnete Auswahl von r Elementen auf r! verschiedene Arten angeordnet werden kann.
- Warum ist die Eingabe auf n ≤ 170 begrenzt?
- 170! ist die größte Fakultät, die in eine JavaScript-Gleitkommazahl passt; 171! läuft zu Unendlich über. Innerhalb der Grenze werden sehr große Ergebnisse in wissenschaftlicher Notation angezeigt.
- Ist eine Schloss-"Kombination" wirklich eine Kombination?
- Nein — mathematisch ist es eine Permutation, weil 1-2-3 und 3-2-1 unterschiedliche Schlösser öffnen. Die Reihenfolge zählt, daher wäre "Permutationsschloss" der zutreffende Name.