क्रमचय और संचय कैलकुलेटर
कुल आइटम n और आपके द्वारा चुने गए r दर्ज करें, और क्रमचय (nPr, क्रम मायने रखता है) और संचय (nCr, क्रम अनदेखा) साथ-साथ पाएँ। हर परिणाम अपना फ़ॉर्मूला और कार्यप्रणाली दिखाता है, और एक छोटा मार्गदर्शक बताता है कि आपकी समस्या को किसकी ज़रूरत है। निःशुल्क, बिना साइन-अप के।
nPr और nCr
क्रमचय — क्रम मायने रखता है (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! शीर्ष 3 गुणनखंडों के गुणनफल तक सिमट जाता है:
10 × 9 × 8 = 720
संचय — क्रम अनदेखा (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — हर चयन के 6 क्रमों को हटाएँ:
720 ÷ 6 = 120
क्रम कब मायने रखता है?
क्रम मायने रखता है → क्रमचय (nPr)। एक लॉक कोड क्लासिक उदाहरण है: अंकों 1, 2, और 3 का उपयोग करने वाले 3-अंकों वाले लॉक पर, कोड 1-2-3 और 3-2-1 अलग हैं — अलग क्रम में वही तीन अंक लॉक नहीं खोलेंगे। रेस पोडियम (पहला, दूसरा, तीसरा), पासवर्ड, और सीटिंग व्यवस्था सभी उसी तरह काम करते हैं।
क्रम मायने नहीं रखता → संचय (nCr)। पिज़्ज़ा टॉपिंग क्लासिक उदाहरण हैं: मशरूम, जैतून, और शिमला मिर्च वाला पिज़्ज़ा बिल्कुल उसी पिज़्ज़ा के समान है जिसमें शिमला मिर्च, जैतून, और मशरूम हों। समितियाँ, लॉटरी नंबर चुनाव, और ताश के पत्तों के हाथ भी संचय हैं।
यही कारण है कि nCr कभी nPr से बड़ा नहीं होता: r आइटम का हर बिना क्रम वाला चयन r! अलग-अलग क्रमबद्ध व्यवस्थाओं से मेल खाता है, इसलिए nCr = nPr ÷ r! होता है।
क्रमचय और संचय कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. n दर्ज करें। यह चुनने के लिए अलग-अलग आइटमों की कुल संख्या है। कैलकुलेटर 0 से 170 तक पूर्ण संख्याएँ स्वीकार करता है और 10 से शुरू होता है।
- 2. r दर्ज करें। यह कितने आइटम चुनते हैं, 0 से n तक। यह 3 से शुरू होता है।
- 3. दोनों परिणाम पढ़ें। nPr क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ गिनता है और nCr बिना क्रम वाले चयन। हर कार्ड अपना फ़ॉर्मूला, वह संक्षिप्त गुणनफल जिस पर फैक्टोरियल सिमटते हैं, और उत्तर दिखाता है।
- 4. सही वाला चुनें। परिणाम के नीचे का पैनल बताता है कि क्रम कब मायने रखता है, उदाहरणों के साथ।
फ़ॉर्मूले
- क्रमचय: nPr = n! ÷ (n − r)!। व्यवहार में यह गुणनफल n × (n − 1) × … × (n − r + 1) है, कुल r गुणनखंड।
- संचय: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!। r आइटमों के हर बिना क्रम वाले चयन को r! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, इसलिए nPr को r! से भाग देने पर दोहराव हट जाते हैं।
- दोनों मानते हैं कि कोई पुनरावृत्ति नहीं: हर आइटम एक बार ही उपयोग हो सकता है। दोहराव के साथ चयन के लिए क्रमबद्ध चुनाव में nʳ और बिना क्रम वाले चुनाव में (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) लगता है, जिसकी गणना यह कैलकुलेटर नहीं करता।
10 में से 3 चुनें (शुरुआती मान)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 बिना क्रम वाले चयन
क्रम मायने रखता है या नहीं? चार हल किए गए मामले
| स्थिति | प्रकार | गिनती |
|---|---|---|
| 8 धावकों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य | क्रमचय, 8P3 | 336 |
| 10 लोगों में से चुनी गई 3 सदस्यों की समिति | संचय, 10C3 | 120 |
| 52 पत्तों से पाँच-पत्ते वाले पोकर हाथ | संचय, 52C5 | 2,598,960 |
| 52 सदस्यों से पाँच अलग-अलग अधिकारी पद भरे गए | क्रमचय, 52P5 | 311,875,200 |
| लॉटरी में 49 में से छह संख्याएँ निकलीं (क्रम अनदेखा) | संचय, 49C6 | 13,983,816 |
हर बिना क्रम वाले पाँच-समूह को 5! = 120 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, इसीलिए 52P5 ÷ 52C5 = 120 है। एक लॉक का "कॉम्बिनेशन" वास्तव में क्रमचय है, क्योंकि 1-2-3 और 3-2-1 अलग-अलग लॉक खोलते हैं।
सीमाएँ जो जानें
- n 170 पर सीमित है। 170! लगभग 7 × 10³⁰⁶ है, जो सबसे बड़ा फैक्टोरियल है जिसे साधारण फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या धारण कर सकती है। उससे आगे अंकगणित ओवरफ़्लो करता है।
- बड़े उत्तर लगभग होते हैं। 10¹⁵ से कम परिणाम पूर्ण संख्या के रूप में दिखाए जाते हैं। उससे ऊपर वे वैज्ञानिक संकेतन में आते हैं, और लगभग पंद्रह अंकों के बाद अंक सटीक नहीं होते, इसलिए हर अंक चाहिए तो बिग-इंटीजर उपकरण उपयोग करें।
- एक जैसे आइटम अलग माने जाते हैं। MISSISSIPPI अक्षरों की व्यवस्थाएँ 11P11 नहीं हैं, क्योंकि दोहराए गए अक्षर अलग नहीं पहचाने जाते। हर दोहराव की गिनती के फैक्टोरियल से भाग दें।
- r, n से बड़ा नहीं हो सकता। बिना दोहराव के आप अपने पास के अलग आइटमों से अधिक नहीं चुन सकते।
आपको कौन-सा उपकरण चाहिए?
| आपको चाहिए | उपयोग करें |
|---|---|
| क्रमबद्ध या बिना क्रम वाले चयनों की संख्या | यह क्रमचय और संचय कैलकुलेटर |
| किसी अनुकूल परिणाम की प्रायिकता | प्रायिकता कैलकुलेटर |
| केवल n! | फैक्टोरियल कैलकुलेटर |
| n प्रयोगों में k सफलताओं की संभावना | द्विपद बंटन कैलकुलेटर |
| बिना प्रतिस्थापन के दिए गए मिश्रण के निकलने की संभावना | हाइपरज्योमेट्रिक बंटन कैलकुलेटर |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- क्रमचय और संचय में क्या अंतर है?
- क्रमचय क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ गिनता है, जैसे कौन पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर आता है। संचय बिना क्रम वाले चयन गिनता है, जैसे कौन-से तीन लोग समिति में बैठते हैं। समान n और r के लिए, nPr कभी nCr से छोटा नहीं होता।
- nPr का फ़ॉर्मूला क्या है?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, जो गुणनफल n × (n − 1) × … × (n − r + 1) के बराबर है। 10P3 के लिए यह 10 × 9 × 8 = 720 है।
- nCr का फ़ॉर्मूला क्या है?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), जो nPr ÷ r! के बराबर है। 10C3 के लिए यह 720 ÷ 6 = 120 है।
- लॉटरी जीतने की संभावना कैसे निकालूँ?
- यदि आप n में से k संख्याएँ चुनते हैं और क्रम मायने नहीं रखता, तो संभावित टिकटों की संख्या nCk होती है। 49 में से 6 वाले ड्रॉ में 49C6 = 13,983,816 है, इसलिए एक टिकट 1 ÷ 13,983,816 की प्रायिकता से जैकपॉट जीतता है।
- इनपुट n ≤ 170 तक ही क्यों सीमित है?
- 170! सबसे बड़ा फैक्टोरियल है जो साधारण फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं में फ़िट होता है; 171! अनंत तक ओवरफ़्लो हो जाता है। सीमा के भीतर बहुत बड़े परिणाम वैज्ञानिक संकेतन में दिखाए जाते हैं और लगभग पंद्रह अंकों से आगे सटीक नहीं होते।
- क्या लॉक का "कॉम्बिनेशन" वास्तव में संचय है?
- नहीं। गणितीय रूप से यह क्रमचय है, क्योंकि 1-2-3 और 3-2-1 अलग कोड हैं। क्रम मायने रखता है, इसलिए "क्रमचय लॉक" सटीक नाम होगा।