क्रमचय और संचय कैलकुलेटर
nPr और nCr को साथ-साथ गणना करने के लिए n (कुल आइटम) और r (चुने गए आइटम) दर्ज करें, आपकी संख्याओं का उपयोग करके हल किए गए फैक्टोरियल फ़ॉर्मूलों के साथ — और क्रम कब मायने रखता है इसकी एक सरल व्याख्या के साथ।
nPr and nCr
क्रमचय — क्रम मायने रखता है (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! शीर्ष 3 गुणनखंडों के गुणनफल में सिमट जाता है:
10 × 9 × 8 = 720
संचय — क्रम अनदेखा (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — प्रत्येक चयन के 6 क्रमों को हटाएँ:
720 ÷ 6 = 120
क्रम कब मायने रखता है?
क्रम मायने रखता है → क्रमचय (nPr)। एक लॉक कोड क्लासिक उदाहरण है: अंकों 1, 2, और 3 का उपयोग करने वाले 3-अंकों वाले लॉक पर, कोड 1-2-3 और 3-2-1 अलग हैं — अलग क्रम में वही तीन अंक लॉक नहीं खोलेंगे। रेस पोडियम (पहला, दूसरा, तीसरा), पासवर्ड, और सीटिंग व्यवस्था सभी उसी तरह काम करते हैं।
क्रम मायने नहीं रखता → संचय (nCr)। पिज़्ज़ा टॉपिंग क्लासिक उदाहरण हैं: मशरूम, जैतून, और शिमला मिर्च वाला पिज़्ज़ा बिल्कुल उसी पिज़्ज़ा के समान है जिसमें शिमला मिर्च, जैतून, और मशरूम हों। समितियाँ, लॉटरी नंबर चुनाव, और ताश के पत्तों के हाथ भी संचय हैं।
यही कारण है कि nCr कभी nPr से बड़ा नहीं होता: r आइटम का हर बिना क्रम वाला चयन r! अलग-अलग क्रमबद्ध व्यवस्थाओं से मेल खाता है, इसलिए nCr = nPr ÷ r! होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- क्रमचय और संचय में क्या अंतर है?
- एक क्रमचय क्रमबद्ध व्यवस्थाओं को गिनता है — पहला, दूसरा, और तीसरा स्थान चुनना एक क्रमचय है। एक संचय बिना क्रम वाले चयनों को गिनता है — एक समिति के लिए 3 लोगों को चुनना एक संचय है। समान n और r के लिए, nPr हमेशा कम से कम nCr जितना बड़ा होता है।
- nPr का फ़ॉर्मूला क्या है?
- nPr = n! ÷ (n − r)!। व्यवहार में यह गुणनफल n × (n − 1) × … × (n − r + 1) है, जो बिल्कुल वैसे ही है जैसे यह कैलकुलेटर इसकी गणना करता है — पूर्ण फैक्टोरियल की आवश्यकता नहीं।
- nCr का फ़ॉर्मूला क्या है?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)। यह nPr को r! से विभाजित करने के बराबर है, क्योंकि r आइटम के हर बिना क्रम वाले चयन को r! अलग-अलग क्रमों में व्यवस्थित किया जा सकता है।
- इनपुट n ≤ 170 तक सीमित क्यों है?
- 170!, JavaScript फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या में फ़िट होने वाला सबसे बड़ा फैक्टोरियल है; 171! अनंत में ओवरफ़्लो हो जाता है। सीमा के भीतर, बहुत बड़े परिणाम वैज्ञानिक संकेतन में दिखाए जाते हैं।
- क्या लॉक का "कॉम्बिनेशन" वास्तव में एक संचय है?
- नहीं — गणितीय रूप से यह एक क्रमचय है, क्योंकि 1-2-3 और 3-2-1 अलग-अलग लॉक खोलते हैं। क्रम मायने रखता है, इसलिए "क्रमचय लॉक" सटीक नाम होगा।