प्रायिकता कैलकुलेटर
अनुकूल और कुल परिणामों से एक घटना की संभावना निकालें, AND या OR से दो स्वतंत्र घटनाओं को मिलाएँ, या ज्ञात करें कि कोई घटना न होने की प्रायिकता क्या है। प्रायिकताएँ दशमलव, प्रतिशत या भिन्न के रूप में दर्ज करें, और हर फ़ॉर्मूला आपकी संख्याओं के साथ हल होते हुए देखें। निःशुल्क, बिना साइन-अप के।
एकल घटना
P = 0.1667 (16.6667%)
P(घटना) = अनुकूल ÷ कुल = 1 ÷ 6 = 0.1667
प्रतिशत के रूप में: 0.1667 × 100 = 16.6667%
पक्ष में ऑड्स: 1 अनुकूल से 5 प्रतिकूल = 1 : 5
दो स्वतंत्र घटनाएँ — और / या
P(A और B) = 0.0833 (8.3333%)
P(A और B) = P(A) × P(B)
= 0.5 × 0.1667 = 0.0833
P(A या B) = 0.5833 (58.3333%)
P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B)
= 0.5 + 0.1667 − 0.0833 = 0.5833
ईमानदार नोट: ये फ़ॉर्मूले मानते हैं कि A और B स्वतंत्र हैं — एक का होना दूसरे की प्रायिकता को नहीं बदलता। आश्रित घटनाओं (जैसे बिना बदले ताश के पत्ते निकालना) के लिए ये लागू नहीं होते।
पूरक — P(A नहीं)
P(A नहीं) = 0.7 (70%)
P(A नहीं) = 1 − P(A)
= 1 − 0.3 = 0.7
प्रायिकता कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. एकल घटना। अनुकूल परिणामों की संख्या और समान रूप से संभावित कुल परिणामों की संख्या दर्ज करें (पूर्ण संख्याएँ, अनुकूल कुल से अधिक नहीं)। आपको प्रायिकता दशमलव और प्रतिशत में मिलती है, साथ में पक्ष में ऑड्स भी।
- 2. दो घटनाएँ। P(A) और P(B) दशमलव (0.5), प्रतिशत (50%) या भिन्न (1/2) के रूप में दर्ज करें। स्वतंत्र घटनाओं के लिए आपको P(A और B) और P(A या B) मिलते हैं। 1 से बड़ी सादी संख्या को प्रतिशत माना जाता है, यानी 2 का अर्थ 2% है, 200% नहीं।
- 3. पूरक। P(A) उन्हीं प्रारूपों में दर्ज करें और P(A नहीं) = 1 − P(A) पाएँ।
- 4. चरण पढ़ें। हर परिणाम अपना फ़ॉर्मूला और अंकगणित दिखाता है, चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित।
फ़ॉर्मूले
- एकल घटना: P = अनुकूल ÷ कुल। एक निष्पक्ष पासे पर 6 आने की प्रायिकता 1 ÷ 6 = 0.1667, या 16.67%, और पक्ष में 1 : 5 के ऑड्स।
- स्वतंत्र AND: P(A और B) = P(A) × P(B)। दोनों घटनाओं का होना ज़रूरी है, इसलिए संभावनाएँ गुणा होती हैं।
- स्वतंत्र OR: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B)। जोड़ने पर overlap दो बार गिना जाता है, इसलिए एक प्रति घटाई जाती है।
- पूरक: P(A नहीं) = 1 − P(A)।
सिक्के पर हेड (50%) और पासे पर 6 (1/6)
P(A और B) = 0.5 × 0.1667 = 0.0833, लगभग 8.33%
P(A या B) = 0.5 + 0.1667 − 0.0833 = 0.5833, लगभग 58.33%
P(B नहीं) = 1 − 0.1667 = 0.8333, लगभग 83.33%
“कम से कम एक” वाले प्रश्न
पूरक “कम से कम एक” तक पहुँचने का सबसे तेज़ रास्ता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। पासे की दो फेंकों में कम से कम एक 6 के लिए, किसी भी फेंक पर 6 न आने की संभावना 5/6 × 5/6 = 0.6944 है, तो उत्तर 1 − 0.6944 = 0.3056, लगभग 30.56% है। दोनों फेंकों के लिए 1/6 और 1/6 को दो-घटना वाले भाग में डालकर P(A या B) पढ़ने पर भी वही 0.3056 मिलता है। तीन या अधिक फेंकों के लिए “6 न आने” की संभावना को बार-बार गुणा करें और फिर पूरक लें।
जब फ़ॉर्मूले लागू नहीं होते
- आश्रित घटनाएँ। बिना पहला पत्ता वापस रखे दो ताश के पत्ते निकालने से दूसरी प्रायिकता बदल जाती है, इसलिए मूल संभावनाओं को गुणा करना गलत है। यहाँ के AND और OR वाले फ़ॉर्मूले स्वतंत्रता मानते हैं; सशर्त प्रायिकता या Hypergeometric Distribution Calculator का उपयोग करें।
- परस्पर अनन्य घटनाएँ। यदि A और B एक साथ नहीं हो सकतीं, जैसे एक पासे पर 2 या 5 आना, तो P(A या B) केवल P(A) + P(B) है। overlap शून्य है, और यदि आप दोनों संभावनाओं को स्वतंत्र मानकर इस कैलकुलेटर का OR वाला भाग भरते हैं, तो उत्तर गलत कम आएगा।
- असमान परिणाम। एकल घटना वाला फ़ॉर्मूला मानता है कि हर परिणाम समान रूप से संभावित है। झुका हुआ पासा या असमान स्पिनर हर परिणाम की अलग प्रायिकता माँगता है।
- प्रायिकता बनाम ऑड्स। 6 में 1 की संभावना की प्रायिकता 1/6 है और पक्ष में ऑड्स 1 : 5; ये एक ही संख्या नहीं हैं।
आपको कौन-सा उपकरण चाहिए?
| आपको चाहिए | उपयोग करें |
|---|---|
| एकल घटना, AND, OR और नहीं की प्रायिकताएँ | यह प्रायिकता कैलकुलेटर |
| किसी चीज़ को व्यवस्थित करने या चुनने के कितने तरीके हैं | क्रमचय और संचय कैलकुलेटर |
| n प्रयोगों में k सफलताओं की संभावना | Binomial Distribution Calculator |
| साक्ष्य देखने पर प्रायिकता अद्यतन करना | Bayes' Theorem Calculator |
| कई प्रयोगों में औसत परिणाम | Expected Value Calculator |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- एकल घटना की प्रायिकता कैसे निकालें?
- अनुकूल परिणामों की संख्या को समान रूप से संभावित कुल परिणामों की संख्या से भाग दें। एक निष्पक्ष पासे का 6 पर उतरना 1 ÷ 6 ≈ 0.1667, या लगभग 16.67% है।
- दो घटनाओं के दोनों होने की प्रायिकता कैसे निकालें?
- स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A) × P(B)। दो निष्पक्ष सिक्का उछालों पर दोनों बार हेड आना 0.5 × 0.5 = 0.25 है।
- A या B की प्रायिकता कैसे निकालें?
- स्वतंत्र घटनाओं के लिए, P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B)। घटाव उस overlap को हटाता है जहाँ दोनों होते हैं, ताकि उसे दो बार न गिना जाए। परस्पर अनन्य घटनाओं में कोई overlap नहीं होता, और आप केवल जोड़ते हैं।
- प्रायिकता में पूरक क्या है?
- किसी घटना का पूरक उसका न होना है: P(not A) = 1 − P(A)। यदि बारिश की 30% संभावना है, तो बारिश न होने की 70% संभावना है। “कम से कम एक” वाले प्रश्नों का यह सबसे छोटा रास्ता है।
- “स्वतंत्र घटनाओं” का क्या अर्थ है?
- दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं जब एक का होना दूसरे की प्रायिकता नहीं बदलता, जैसे दो अलग-अलग सिक्का उछाल। यहाँ के AND और OR फ़ॉर्मूले आश्रित घटनाओं के लिए गलत उत्तर देते हैं, जैसे बिना वापस रखे ताश के पत्ते निकालना।
- प्रायिकता और ऑड्स में क्या अंतर है?
- प्रायिकता अनुकूल परिणामों की तुलना सभी परिणामों से करती है; ऑड्स अनुकूल की तुलना प्रतिकूल से। 6 में 1 की संभावना की प्रायिकता 1/6 है और पक्ष में ऑड्स 1 : 5।