अपेक्षित मान कैलकुलेटर
संभावित परिणाम उनकी प्रायिकताओं के साथ सूचीबद्ध करें (दशमलव, प्रतिशत या 1/6 जैसे भिन्न), या हर परिणाम कितनी बार आया वह लिखें, और अपेक्षित मान E(X), प्रसरण और मानक विचलन पाएँ, साथ में कार्य-तालिका। कैलकुलेटर जाँचता है कि आपकी प्रायिकताएँ 1 तक जुड़ती हैं, और पासे के खेल, बीमा पॉलिसी और लॉटरी टिकट के हल किए हुए उदाहरण भी देता है।
0 परिणाम पढ़ा गया। प्रायिकताएँ दशमलव (0.25), प्रतिशत (25%) या भिन्न (1/4) हो सकती हैं। संख्याओं से पहले के शब्द अनदेखे किए जाते हैं, इसलिए आप हर पंक्ति को लेबल कर सकते हैं।
एक उदाहरण आज़माएँ
कम से कम दो परिणाम दर्ज करें, हर पंक्ति में एक।
अपेक्षित मान कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. प्रायिकताएँ या बारंबारताएँ चुनें। सैद्धांतिक बंटन के लिए प्रायिकताएँ उपयोग करें, और जब आपके पास गिनतियाँ हों तो बारंबारताएँ — कैलकुलेटर उन्हें उनके कुल से भाग देता है।
- 2. हर पंक्ति में एक परिणाम लिखें। पहले मान, फिर उसकी प्रायिकता या बारंबारता:
3, 1/6। संख्याओं से पहले के शब्द अनदेखे किए जाते हैं, इसलिए कोई पंक्तिजीत: छह आए, 3, 1/6भी लिख सकती है। - 3. E(X), प्रसरण और SD पढ़ें। यदि प्रायिकताएँ 1 तक नहीं जुड़तीं, तो कैलकुलेटर यह बता देता है और भ्रामक उत्तर नहीं देता; 1 से 0.01 के भीतर का योग गोलाई मानकर स्वीकार किया जाता है।
- 4. तालिका का अनुसरण करें। हर पंक्ति x × P(x) और (x − μ)² × P(x) दिखाती है; उनके स्तंभ-योग अपेक्षित मान और प्रसरण हैं।
अपेक्षित मान, प्रसरण और मानक विचलन
अपेक्षित मान
E(X) = μ = Σ x × P(x)
प्रसरण
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
मानक विचलन
SD(X) = √Var(X)
अपेक्षित मान हर परिणाम को उसकी संभावना से भारित करता है। इसके सार्थक होने के लिए हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच होनी चाहिए, और सभी मिलकर ठीक 1 हों — हर संभावित परिणाम एक बार सूचीबद्ध हो। प्रसरण मापता है कि परिणाम अपेक्षित मान से आमतौर पर कितनी दूर गिरते हैं, इसलिए यह जोखिम का माप है: दो दाँव एक ही E(X) रख सकते हैं और फिर भी उनका फैलाव बहुत अलग हो सकता है।
बारंबारताओं के साथ, हर गिनती को कुल से भाग देकर अनुभवजन्य प्रायिकता मिलती है। यदि 20 परिवारों में 0, 1, 2 या 3 बच्चे हैं, जिनकी गिनतियाँ 4, 9, 5 और 2 हैं, तो प्रायिकताएँ 0.2, 0.45, 0.25 और 0.1 हैं, और E(X) = 1.25 बच्चे, SD 0.8874 के साथ — यह याद दिलाता है कि अपेक्षित मान ऐसा मान नहीं हो सकता जो वास्तव में घटित हो।
तीन हल किए हुए उदाहरण
| उदाहरण | परिणाम | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| पासे का खेल | 1/6 प्रायिकता से $3 जीतना; 5/6 प्रायिकता से $1 हारना | −$0.33 | $1.49 |
| बीमा, बीमाकर्ता का दृष्टिकोण | 0.998 प्रायिकता से $200 का प्रीमियम रखना; 0.002 प्रायिकता से शुद्ध $49,800 चुकाना | +$100 | $2,233.83 |
| लॉटरी टिकट | 0.001 प्रायिकता से शुद्ध $499 जीतना; 0.999 प्रायिकता से $1 का दाँव हारना | −$0.50 | $15.80 |
पासे का खेल। पासा फेंकने के लिए आप $1 देते हैं और जब छह आए तो $4 जीतते हैं, यानी शुद्ध लाभ $3। E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, इसलिए आप प्रति खेल औसतन लगभग 33 सेंट हारते हैं। 600 बार खेलें तो लगभग $200 घाटे की उम्मीद करें।
बीमा पॉलिसी। बीमाकर्ता एक वर्ष के लिए $200 लेता है, उस पॉलिसी के लिए जो 0.2% प्रायिकता पर $50,000 चुकाती है। उसका अपेक्षित लाभ प्रति पॉलिसी 200 × 0.998 + (−49,800) × 0.002 = $100 है — इसलिए ग्राहक के लिए अपेक्षित मान −$100 है। फिर भी खरीदना तर्कसंगत हो सकता है: ग्राहक एक छोटी, निश्चित हानि के बदले बड़ी हानि से सुरक्षा पाता है, और $2,233.83 का SD वह जोखिम है जो वह सौंप रहा है।
लॉटरी टिकट। $1 का पिक-थ्री टिकट तब $500 जीतता है जब आपके तीनों अंक आ जाएँ — 1,000 में 1 की संभावना। E(X) = 499 × 0.001 + (−1) × 0.999 = −0.50: औसतन, लगाए गए हर डॉलर का आधा हिस्सा खो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- अपेक्षित मान की गणना कैसे करें?
- हर संभावित परिणाम को उसकी प्रायिकता से गुणा करें और गुणनफल जोड़ें: E(X) = Σ x × P(x)। एक निष्पक्ष छह-फलकीय पासे के लिए E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5। ऊपर की कार्य-तालिका आपके अपने बंटन के लिए हर गुणनफल दिखाती है।
- क्या अपेक्षित मान ऋणात्मक हो सकता है?
- हाँ। ऋणात्मक अपेक्षित मान का अर्थ है कि अनेक दोहराव में औसतन आप हारते हैं — कैसीनो खेलों और लॉटरी में यह आम है, जहाँ संचालक अपनी बढ़त पहले से रखता है। इसका चिह्न इस पर निर्भर करता है कि आप परिणामों को कैसे परिभाषित करते हैं: बीमाकर्ता का +$100 ग्राहक का −$100 है।
- अपेक्षित मान और माध्य में क्या अंतर है?
- अपेक्षित मान प्रायिकता बंटन का माध्य है — वह दीर्घकालिक औसत जो आपको अनंत प्रयोगों से मिलेगा। नमूना माध्य आपके वास्तव में देखे गए आँकड़ों का औसत है। बड़ी संख्याओं के नियम के अनुसार, स्वतंत्र प्रयोगों का नमूना माध्य अपेक्षित मान के और निकट आता जाता है।
- क्या प्रायिकताओं का योग 1 होना ज़रूरी है?
- हाँ। वैध प्रायिकता बंटन हर संभावित परिणाम को ठीक एक बार सूचीबद्ध करता है, इसलिए प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए। यदि न हो, तो कोई परिणाम छूट गया है, कोई दोहरा गिना गया है, या संख्याएँ वास्तव में गिनतियाँ हैं — ऐसी स्थिति में बारंबारताओं पर जाएँ और कैलकुलेटर उन्हें बदल देगा।
- प्रायिकता बंटन का प्रसरण कैसे निकालें?
- हर परिणाम की अपेक्षित मान से दूरी का वर्ग लें, उसे उसकी प्रायिकता से गुणा करें, और जोड़ें: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x)। एक शॉर्टकट वही उत्तर देता है: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ²। मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है, जो परिणामों की उसी इकाई में होता है।
- लोग लॉटरी टिकट क्यों खरीदते हैं, जब अपेक्षित मान ऋणात्मक है?
- अपेक्षित मान दीर्घकालिक औसत बताता है, और लोग केवल औसत के आधार पर फ़ैसले नहीं करते। लॉटरी मामूली दाँव के बदले बड़ी रकम की छोटी संभावना देती है, और बीमा अनुमानित लागत के बदले विनाशकारी हानि हटा देता है। निर्णय-सिद्धांत इसे उपयोगिता (utility) से पकड़ता है — यानी परिणामों को उनके अंकित मूल्य के बजाय उनके प्रभाव से आँकना।