حاسبة القيمة المتوقعة

كيفية استخدام حاسبة القيمة المتوقعة

1. 1. اختر الاحتمالات أو التكرارات. استخدم الاحتمالات لتوزيع نظري، واستخدم التكرارات حين تكون لديك أعداد مرات الحدوث، فتقسم الحاسبة كل عدد على مجموعها.
2. 2. أدخل نتيجة واحدة في كل سطر. اكتب القيمة أولًا، ثم احتمالها أو تكرارها: 3, 1/6. تُتجاهل الكلمات التي قبل الأرقام، فيمكن أن يكتب السطر هكذا: فوز: رمية ستة, 3, 1/6.
3. 3. اقرأ E(X) والتباين والانحراف المعياري. إذا لم يكن مجموع الاحتمالات 1، تخبرك الحاسبة بذلك بدلًا من إعطاء جواب مضلِّل. ويُقبل المجموع إذا كان على بعد 0.01 من 1 بوصفه تقريبًا.
4. 4. تابع الجدول. يبيّن كل صف قيمة x × P(x) و(x − μ)² × P(x)، ومجموع كل عمود هو القيمة المتوقعة والتباين.

القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري

تُرجِّح القيمة المتوقعة كل نتيجة بمدى احتمالها. ولكي يكون لها معنى يجب أن تقع كل احتمالية بين 0 و1، وأن يكون مجموعها تمامًا 1، بحيث تُدرج كل نتيجة ممكنة مرة واحدة. ويقيس التباين مدى ابتعاد النتائج عادةً عن القيمة المتوقعة، فهو مقياس للمخاطرة: قد يكون لرهانين القيمة المتوقعة نفسها وتشتت مختلف تمامًا.

مع التكرارات تُقسم كل قيمة تكرار على المجموع لتعطي احتمالًا تجريبيًا. فإذا كان لدينا 20 أسرة عدد أطفالها 0 أو 1 أو 2 أو 3 بتكرارات 4 و9 و5 و2، فالاحتمالات هي 0.2 و0.45 و0.25 و0.1، وتكون E(X) = 1.25 طفلًا، وانحرافها المعياري 0.8874. وهذا تذكير بأن القيمة المتوقعة قد لا تكون قيمة يمكن أن تحدث فعلًا.

ثلاثة أمثلة محلولة

لعبة النرد. تدفع دولارًا لترمي النرد، فتربح 4 دولارات إذا ظهر ستة، أي ربحًا صافيًا قدره 3 دولارات. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3، أي أنك تخسر نحو 33 سنتًا في كل لعبة في المتوسط. العب 600 مرة وتوقّع أن تكون خاسرًا بنحو 200 دولار.

بوليصة التأمين. تتقاضى شركة التأمين 200 دولار سنويًا عن بوليصة تدفع 50,000 دولار باحتمال 0.2%. ربح الشركة المتوقع هو 200 × 0.998 + (−49,800) × 0.002 = 100 دولار لكل بوليصة، أي أن القيمة المتوقعة للعميل هي −100 دولار. وقد يبقى الشراء منطقيًا، فالعميل يستبدل خسارة صغيرة مؤكدة بحماية من خسارة كبيرة، والانحراف المعياري البالغ 2,233.83 دولار هو المخاطرة التي تُنقل إلى الشركة.

تذكرة اليانصيب. تكلّف تذكرة «اختر ثلاثة» دولارًا واحدًا، وتربح 500 دولار إذا ظهرت أرقامك الثلاثة، أي باحتمال 1 من 1,000. E(X) = 499 × 0.001 + (−1) × 0.999 = −0.50: في المتوسط تخسر نصف كل دولار تراهن به.

الأسئلة الشائعة

كيف تحسب القيمة المتوقعة؟

اضرب كل نتيجة ممكنة في احتمالها، ثم اجمع النواتج: E(X) = Σ x × P(x). في حالة نرد عادل ذي ستة أوجه تكون E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5. ويبيّن الجدول أعلاه كل ناتج لتوزيعك أنت.

هل يمكن أن تكون القيمة المتوقعة سالبة؟

نعم. تعني القيمة المتوقعة السالبة أنك تخسر في المتوسط عند تكرار اللعبة مرات كثيرة، وهذا شائع في ألعاب الكازينو واليانصيب حيث يضمن المشغّل ميزة لنفسه. وتعتمد إشارتها على طريقة تعريف النتائج، فالـ +100 دولار لشركة التأمين تعني −100 دولار للعميل.

ما الفرق بين القيمة المتوقعة والمتوسط؟

القيمة المتوقعة هي متوسط التوزيع الاحتمالي، أي المتوسط على المدى الطويل لعدد لا نهائي من التجارب. أما المتوسط الحسابي للعينة فهو متوسط البيانات التي شوهدت فعلًا. وبحسب قانون الأعداد الكبيرة يقترب متوسط العينة، لعدد كبير من التجارب المستقلة، من القيمة المتوقعة أكثر فأكثر.

هل يجب أن يكون مجموع الاحتمالات 1؟

نعم. يسرد التوزيع الاحتمالي الصحيح كل النتائج الممكنة مرة واحدة، لذا يجب أن يكون مجموع احتمالاتها 1. وإن لم يكن كذلك، فقد نسيت نتيجة، أو عددت نتيجة مرتين، أو أن الأرقام في الحقيقة تكرارات، وفي هذه الحالة انتقل إلى التكرارات وستحوّلها الحاسبة.

كيف أجد تباين توزيع احتمالي؟

اطرح القيمة المتوقعة من كل نتيجة، وربّع الفرق، واضربه في احتمال النتيجة، ثم اجمع: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). وثمة طريقة مختصرة تعطي الجواب نفسه: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². والانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، ويُقاس بوحدات النتائج نفسها.

لماذا يشتري الناس تذاكر اليانصيب إذا كانت قيمتها المتوقعة سالبة؟

القيمة المتوقعة تصف المتوسط على المدى الطويل، والناس لا يقررون بالمتوسطات وحدها. يمنح اليانصيب فرصة صغيرة لمبلغ يغيّر الحياة مقابل ثمن زهيد، ويزيل التأمين خسارة مدمّرة بتكلفة يمكن التنبؤ بها. وتعبّر نظرية القرار عن ذلك بالمنفعة، أي تقييم النتائج بما تحدثه من أثر لا بقيمتها الاسمية.