حاسبة توزيع ذي الحدين

النتائج

np = 10 وn(1 − p) = 10 كلاهما 10 على الأقل، لذا فالتقريب الطبيعي N(10, 2.2361²) معقول. ومع تصحيح الاستمرارية يعطي P(X ≤ 12) ≈ 0.8682، مقابل الدقيق 0.8684.

كيفية استخدام حاسبة توزيع ذي الحدين

1. 1. أدخل عدد المحاولات. n هو عدد مرات تكرار التجربة: 20 رمية عملة، أو 50 مريضًا، أو 10 أسئلة.
2. 2. أدخل احتمال النجاح. p هو احتمال نجاح محاولة واحدة، بين 0 و1 — 0.5 لعملة عادلة، و0.25 للتخمين بين أربعة خيارات.
3. 3. أدخل k، واختياريًا قيمة ثانية. k هو عدد النجاحات الذي تسأل عن احتماله. املأ الخانة الثانية لتحصل أيضًا على احتمال نطاق.
4. 4. اقرأ الاحتمالات. تحصل على P(X = k) والصيغ التراكمية الأربع كلها، والمتوسط والتباين والانحراف المعياري، وملاحظة عن التقريب الطبيعي، ومع n حتى 200 الجدول الكامل والمخطط البياني.

ما الذي يمثله توزيع ذي الحدين

يعدّ توزيع ذي الحدين النجاحات في عدد ثابت من المحاولات المستقلة التي ينجح كل منها باحتمال واحد نفسه: الصورة في 20 رمية عملة، أو الإجابات الصحيحة في اختبار متعدد الخيارات، أو المرضى الذين يستجيبون لعلاج. وتتحقق أربعة شروط: عدد ثابت n، ونتيجتان لكل محاولة، واحتمال p ثابت، ومحاولات لا يؤثر بعضها في بعض.

احتمال k نجاحات بالضبط هو P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}، حيث يعدّ C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) طرق اختيار المحاولات التي تنجح. والمتوسط np والتباين np(1 − p). وتحسب الحاسبة الاحتمالات التراكمية بدقة عبر دالة بيتا غير الكاملة المنظَّمة (regularised)، فحتى P(X ≥ 95) في 100 رمية عادلة — نحو 6.26 × 10⁻²³ — تخرج صحيحة بدلًا من أن تكون صفرًا.

لأن ذا الحدين متقطّع، فإن «على الأقل 12» و«أكثر من 12» سؤالان مختلفان بجوابين مختلفين. وتحويل الصياغة إلى واحدة من هذه الصيغ الست هو غالبًا أصعب جزء في مسائل ذي الحدين.

مثال تطبيقي: رمي العملات والتخمين

ارمِ عملة عادلة 20 مرة (n = 20، p = 0.5). احتمال الحصول على 12 صورة بالضبط هو C(20, 12) × 0.5²⁰ = 125,970 / 1,048,576 = 0.1201. واحتمال 12 أو أكثر هو P(X ≥ 12) = 0.2517، واحتمال 12 على الأكثر هو 0.8684. وبين 8 و12 صورة شاملًا الطرفين، P(8 ≤ X ≤ 12) = 0.7368. المتوسط 10، والتباين 5، والانحراف المعياري 2.2361.

والآن اختبار من 20 سؤالًا متعدد الخيارات، بأربعة خيارات لكل سؤال، يُجاب عنه بالتخمين المحض (n = 20، p = 0.25). الدرجة المتوقعة 5، واحتمال النجاح بعشر إجابات صحيحة أو أكثر هو P(X ≥ 10) = 0.0139 — نحو 1 من كل 72.

متى يصلح التقريب الطبيعي

مع n الكبيرة يشبه ذو الحدين التوزيع الطبيعي، بمتوسط np وانحراف معياري √(np(1 − p)). والقاعدة المعتادة هي التقريب فقط حين يكون np ≥ 10 وn(1 − p) ≥ 10 — وتقبل بعض الكتب 5 — مع تطبيق تصحيح الاستمرارية بمقدار 0.5. وفي مثال العملة يكون العددان بالضبط 10، فيعطي التقريب P(X ≤ 12) ≈ Φ((12.5 − 10) / 2.2361) = 0.8682، مقابل الدقيق 0.8684. ومع وجود القيم الدقيقة على بعد نقرة، صار التقريب وسيلة تعليمية في الأساس.

الأسئلة الشائعة

كيف أحسب احتمال ذي الحدين؟

استخدم P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: عدد طرق توزيع k نجاح على n محاولة، مضروبًا في احتمال أي تسلسل من هذا النوع. وتُجمع هذه الحدود لحساب الاحتمالات التراكمية. أدخل n وp وk أعلاه وستحسب الحاسبة كلها دفعة واحدة.

ما الفرق بين P(X < k) وP(X ≤ k)؟

تتضمن P(X ≤ k) الـ k بينما لا تتضمنها P(X < k)، لذا P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). ففي 20 رمية عادلة، P(X ≤ 12) = 0.8684 بينما P(X < 12) = 0.7483 — والفرق هو P(X = 12) = 0.1201.

ما شروط توزيع ذي الحدين؟

عدد ثابت من المحاولات، ونتيجتان ممكنتان في كل منها، واحتمال نجاح ثابت في كل مرة، ومحاولات مستقلة. والسحب دون إرجاع من مجتمع صغير يكسر شرط ثبات p، لذا استخدم التوزيع فوق الهندسي هناك بدلًا منه.

ما المتوسط والانحراف المعياري لتوزيع ذي الحدين؟

المتوسط np، والتباين np(1 − p)، والانحراف المعياري √(np(1 − p)). ومن أجل n = 20 وp = 0.25 يكون المتوسط 5، والتباين 3.75، والانحراف المعياري 1.9365.

هل تعمل الحاسبة مع n الكبيرة؟

نعم. يمكن أن تصل n إلى الملايين، لأن الاحتمالات التراكمية تُحسب من دالة بيتا غير الكاملة بدلًا من جمع آلاف الحدود، فلا تتدهور الدقة مع كبر n. ويُرسم الجدول والمخطط البياني حتى n = 200، حيث يبقيان واضحين.

متى أستخدم بواسون أو التوزيع الطبيعي بدلًا منه؟

استخدم توزيع بواسون لعدّ الأحداث في فترة زمنية حين لا يكون هناك عدد ثابت من المحاولات؛ ويقاربه كذلك ذو الحدين حين تكون n كبيرة وp صغيرة. واستخدم التقريب الطبيعي للمقارنة فقط، ولا تستخدمه إلا حين تكون np وn(1 − p) كلتاهما 10 على الأقل.