Kalkulator Distribusi Binomial

Hasil

np = 10 dan n(1 − p) = 10 keduanya minimal 10, sehingga pendekatan normal N(10, 2,2361²) masuk akal. Dengan koreksi kontinuitas, hasilnya P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, dibandingkan dengan nilai eksak 0,8684.

Cara Menggunakan Kalkulator Distribusi Binomial

1. 1. Masukkan jumlah percobaan. n adalah berapa kali percobaan dijalankan: 20 lemparan koin, 50 pasien, 10 soal.
2. 2. Masukkan peluang sukses. p adalah peluang satu percobaan berhasil, antara 0 dan 1 — 0,5 untuk koin yang adil, 0,25 untuk menebak di antara empat pilihan.
3. 3. Masukkan k, dan opsional nilai kedua. k adalah jumlah sukses yang Anda tanyakan. Isi kotak kedua untuk mendapatkan probabilitas suatu rentang juga.
4. 4. Baca probabilitasnya. Anda mendapatkan P(X = k) dan keempat versi kumulatifnya, rata-rata, varians, dan simpangan baku, catatan tentang pendekatan normal, dan — untuk n hingga 200 — tabel lengkap serta grafik batang.

Apa yang Dimodelkan Distribusi Binomial

Distribusi binomial menghitung sukses dalam sejumlah percobaan tetap yang masing-masing berhasil dengan peluang yang sama: kepala dalam 20 lemparan koin, tebakan benar pada tes pilihan ganda, atau pasien yang merespons pengobatan. Empat kondisi harus berlaku — n tetap, dua hasil per percobaan, p konstan, dan percobaan yang tidak saling memengaruhi.

Probabilitas tepat k sukses adalah P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, dengan C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) menghitung cara memilih percobaan mana yang sukses. Rata-ratanya np dan variansnya np(1 − p). Kalkulator mengevaluasi probabilitas kumulatif secara eksak melalui fungsi beta tak lengkap yang diregularisasi, sehingga bahkan P(X ≥ 95) dalam 100 lemparan koin yang adil — sekitar 6,26 × 10⁻²³ — muncul dengan benar, bukan sebagai nol.

Karena binomial bersifat diskret, "setidaknya 12" dan "lebih dari 12" adalah pertanyaan yang berbeda dengan jawaban yang berbeda. Menerjemahkan kata-kata soal menjadi salah satu dari keenam bentuk ini biasanya bagian tersulit dari soal binomial.

Contoh Kasus: Lemparan Koin dan Menebak

Lempar koin yang adil 20 kali (n = 20, p = 0,5). Peluang tepat 12 kepala adalah C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201. Peluang 12 atau lebih adalah P(X ≥ 12) = 0,2517, dan paling banyak 12 adalah 0,8684. Antara 8 dan 12 kepala inklusif, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. Rata-ratanya 10, variansnya 5, dan simpangan bakunya 2,2361.

Sekarang tes pilihan ganda 20 soal dengan empat opsi per soal, dijawab dengan menebak murni (n = 20, p = 0,25). Skor yang diharapkan 5, dan peluang lulus dengan 10 benar atau lebih adalah P(X ≥ 10) = 0,0139 — sekitar 1 dari 72.

Kapan pendekatan normal berlaku

Untuk n besar, binomial tampak normal, dengan rata-rata np dan simpangan baku √(np(1 − p)). Aturan umumnya hanya mendekati ketika np ≥ 10 dan n(1 − p) ≥ 10 — sebagian buku teks menerima 5 — dan memakai koreksi kontinuitas sebesar 0,5. Untuk contoh koin, kedua angka itu tepat 10, dan pendekatannya memberi P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, dibandingkan dengan nilai eksak 0,8684. Dengan nilai eksak yang tinggal satu klik, pendekatan kini terutama berfungsi sebagai alat bantu mengajar.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Bagaimana cara menghitung probabilitas binomial?

Gunakan P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: jumlah cara menempatkan k sukses di antara n percobaan, dikali probabilitas satu urutan seperti itu. Probabilitas kumulatif menjumlahkan suku-suku ini. Masukkan n, p, dan k di atas, dan kalkulator mengevaluasi semuanya sekaligus.

Apa bedanya P(X < k) dan P(X ≤ k)?

P(X ≤ k) mencakup k dan P(X < k) tidak, sehingga P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Untuk 20 lemparan koin yang adil, P(X ≤ 12) = 0,8684 sedangkan P(X < 12) = 0,7483 — selisihnya adalah P(X = 12) = 0,1201.

Apa syarat distribusi binomial?

Jumlah percobaan tetap, dua kemungkinan hasil pada setiap percobaan, peluang sukses yang sama setiap kali, dan percobaan yang independen. Mengambil tanpa pengembalian dari populasi kecil merusak syarat p konstan, jadi gunakan distribusi hipergeometrik di sana.

Berapa rata-rata dan simpangan baku distribusi binomial?

Rata-ratanya np, variansnya np(1 − p), dan simpangan bakunya √(np(1 − p)). Untuk n = 20 dan p = 0,25, rata-ratanya 5, variansnya 3,75, dan simpangan bakunya 1,9365.

Apakah kalkulator ini berfungsi untuk n besar?

Ya. n bisa mencapai jutaan, karena probabilitas kumulatif dihitung dari fungsi beta tak lengkap, bukan dengan menjumlahkan ribuan suku, sehingga presisinya tidak menurun ketika n bertambah. Tabel dan grafik batang digambar untuk n hingga 200, tempat keduanya tetap mudah dibaca.

Kapan sebaiknya saya memakai distribusi Poisson atau normal?

Gunakan Poisson untuk hitungan kejadian dalam suatu interval ketika tidak ada jumlah percobaan yang tetap; ia juga mendekati binomial ketika n besar dan p kecil. Gunakan pendekatan normal hanya sebagai pemeriksaan silang, dan hanya ketika np dan n(1 − p) keduanya minimal 10.