Calculateur de loi binomiale

Résultats

np = 10 et n(1 − p) = 10 sont tous deux au moins égaux à 10, donc l'approximation normale N(10, 2,2361²) est raisonnable. Avec une correction de continuité, elle donne P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, contre 0,8684 en valeur exacte.

Comment utiliser le calculateur de loi binomiale

1. 1. Saisissez le nombre d'essais. n est le nombre de fois où l'expérience est répétée : 20 lancers de pièce, 50 patients, 10 questions.
2. 2. Saisissez la probabilité de succès. p est la probabilité qu'un essai réussisse, entre 0 et 1 — 0,5 pour une pièce équilibrée, 0,25 pour une réponse au hasard parmi quatre options.
3. 3. Saisissez k, et éventuellement une seconde valeur. k est le nombre de succès recherché. Remplissez la seconde case pour obtenir aussi la probabilité d'un intervalle.
4. 4. Lisez les probabilités. Vous obtenez P(X = k) et les quatre versions cumulées, la moyenne, la variance et l'écart type, une note sur l'approximation normale et — pour n jusqu'à 200 — le tableau complet et un diagramme en barres.

Ce que modélise la loi binomiale

La loi binomiale compte les succès sur un nombre fixe d'essais indépendants qui réussissent chacun avec la même probabilité : des piles dans 20 lancers, des bonnes réponses à un QCM, ou des patients qui répondent à un traitement. Quatre conditions doivent être réunies : un n fixe, deux issues par essai, un p constant, et des essais qui ne s'influencent pas.

La probabilité d'exactement k succès est P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, où C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) compte les façons de choisir les essais qui réussissent. La moyenne est np et la variance np(1 − p). Le calculateur évalue les probabilités cumulées exactement, grâce à la fonction bêta incomplète régularisée : ainsi, même P(X ≥ 95) pour 100 lancers équilibrés — environ 6,26 × 10⁻²³ — sort juste au lieu de zéro.

La loi binomiale étant discrète, « au moins 12 » et « plus de 12 » sont deux questions différentes, aux réponses différentes. Traduire la formulation en l'une de ces six formes est souvent la partie la plus difficile d'un problème binomial.

Exemple détaillé : pile ou face et réponses au hasard

Lancez une pièce équilibrée 20 fois (n = 20, p = 0,5). La probabilité d'obtenir exactement 12 piles est C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125 970 / 1 048 576 = 0,1201. La probabilité d'en obtenir 12 ou plus est P(X ≥ 12) = 0,2517, et celle d'en obtenir au plus 12 est 0,8684. Entre 8 et 12 piles inclus, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. La moyenne est 10, la variance 5 et l'écart type 2,2361.

Passons à un QCM de 20 questions, à quatre options par question, auquel on répond au hasard (n = 20, p = 0,25). Le score moyen attendu est 5, et la probabilité de réussir avec 10 bonnes réponses ou plus est P(X ≥ 10) = 0,0139 — environ 1 chance sur 72.

Quand l'approximation normale fonctionne

Pour un grand n, la loi binomiale ressemble à une loi normale, de moyenne np et d'écart type √(np(1 − p)). La règle habituelle consiste à n'approcher que si np ≥ 10 et n(1 − p) ≥ 10 — certains manuels acceptent 5 — et à appliquer une correction de continuité de 0,5. Pour l'exemple de la pièce, les deux valeurs valent exactement 10, et l'approximation donne P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, contre 0,8684 en valeur exacte. Les valeurs exactes étant à un clic, l'approximation sert désormais surtout d'outil pédagogique.

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité binomiale ?

Utilisez P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k} : le nombre de façons de placer k succès parmi n essais, multiplié par la probabilité d'une telle suite. Les probabilités cumulées additionnent ces termes. Saisissez n, p et k ci-dessus, et le calculateur les évalue tous en même temps.

Quelle est la différence entre P(X < k) et P(X ≤ k) ?

P(X ≤ k) inclut k et P(X < k) non, donc P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Pour 20 lancers de pièce équilibrée, P(X ≤ 12) = 0,8684 tandis que P(X < 12) = 0,7483 : la différence est P(X = 12) = 0,1201.

Quelles sont les conditions d'une loi binomiale ?

Un nombre fixe d'essais, deux issues possibles à chacun, la même probabilité de succès à chaque fois, et des essais indépendants. Tirer sans remise dans une petite population brise la condition de p constant : utilisez alors la loi hypergéométrique.

Quelles sont la moyenne et l'écart type d'une loi binomiale ?

La moyenne est np, la variance np(1 − p) et l'écart type √(np(1 − p)). Pour n = 20 et p = 0,25, la moyenne vaut 5, la variance 3,75 et l'écart type 1,9365.

Le calculateur fonctionne-t-il pour un grand n ?

Oui. n peut atteindre des millions, car les probabilités cumulées proviennent de la fonction bêta incomplète plutôt que d'une somme de milliers de termes ; la précision ne se dégrade donc pas quand n grandit. Le tableau et le diagramme en barres sont tracés pour n jusqu'à 200, où ils restent lisibles.

Quand utiliser plutôt une loi de Poisson ou normale ?

Utilisez la loi de Poisson pour compter des événements sur un intervalle lorsqu'il n'y a pas de nombre d'essais fixe ; elle approche aussi la loi binomiale lorsque n est grand et p petit. N'utilisez l'approximation normale que comme vérification, et seulement lorsque np et n(1 − p) sont tous deux au moins égaux à 10.