Công Cụ Tính Phân Phối Nhị Thức
Nhập số lần thử n, xác suất thành công p và số lần thành công k để nhận mọi xác suất nhị thức — đúng k, tối đa, ít hơn, ít nhất, nhiều hơn, hoặc một khoảng — cùng trung bình, phương sai, một bảng xác suất đầy đủ và biểu đồ cột. Miễn phí, không cần đăng ký.
Thêm P(k ≤ X ≤ giá trị này) vào kết quả.
Kết quả
| Xác suất | Ý nghĩa | Giá trị |
|---|---|---|
| P(X = 12) | đúng 12 | 0,1201 |
| P(X ≤ 12) | tối đa 12 | 0,8684 |
| P(X < 12) | ít hơn 12 | 0,7483 |
| P(X ≥ 12) | ít nhất 12 | 0,2517 |
| P(X > 12) | nhiều hơn 12 | 0,1316 |
10
Trung bình (np)
5
Phương sai (np(1 − p))
2,2361
Độ lệch chuẩn
np = 10 và n(1 − p) = 10 đều ít nhất bằng 10, nên xấp xỉ chuẩn N(10, 2,2361²) là hợp lý. Với hiệu chỉnh liên tục, nó cho P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, so với 0,8684 chính xác.
Phân phối xác suất
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 0 | 9,54 × 10−7 | 9,54 × 10−7 | 1,0000 |
| 1 | 1,91 × 10−5 | 2,00 × 10−5 | 1,0000 |
| 2 | 0,0002 | 0,0002 | 1,0000 |
| 3 | 0,0011 | 0,0013 | 0,9998 |
| 4 | 0,0046 | 0,0059 | 0,9987 |
| 5 | 0,0148 | 0,0207 | 0,9941 |
| 6 | 0,0370 | 0,0577 | 0,9793 |
| 7 | 0,0739 | 0,1316 | 0,9423 |
| 8 | 0,1201 | 0,2517 | 0,8684 |
| 9 | 0,1602 | 0,4119 | 0,7483 |
| 10 | 0,1762 | 0,5881 | 0,5881 |
| 11 | 0,1602 | 0,7483 | 0,4119 |
| 12 | 0,1201 | 0,8684 | 0,2517 |
| 13 | 0,0739 | 0,9423 | 0,1316 |
| 14 | 0,0370 | 0,9793 | 0,0577 |
| 15 | 0,0148 | 0,9941 | 0,0207 |
| 16 | 0,0046 | 0,9987 | 0,0059 |
| 17 | 0,0011 | 0,9998 | 0,0013 |
| 18 | 0,0002 | 1,0000 | 0,0002 |
| 19 | 1,91 × 10−5 | 1,0000 | 2,00 × 10−5 |
| 20 | 9,54 × 10−7 | 1,0000 | 9,54 × 10−7 |
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Phân Phối Nhị Thức
- 1. Nhập số lần thử. n là số lần thí nghiệm được chạy: 20 lần tung đồng xu, 50 bệnh nhân, 10 câu hỏi.
- 2. Nhập xác suất thành công. p là xác suất một lần thử thành công, từ 0 đến 1 — 0,5 với đồng xu cân đối, 0,25 với việc đoán trong bốn phương án.
- 3. Nhập k, và tùy chọn một giá trị thứ hai. k là số lần thành công bạn đang hỏi. Điền ô thứ hai để nhận thêm xác suất của một khoảng.
- 4. Đọc các xác suất. Bạn nhận P(X = k) và cả bốn dạng tích lũy, trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn, một ghi chú về xấp xỉ chuẩn, và — với n tối đa 200 — bảng đầy đủ cùng biểu đồ cột.
Phân Phối Nhị Thức Mô Hình Hóa Điều Gì
Phân phối nhị thức đếm số lần thành công trong một số lần thử cố định, độc lập, mỗi lần thành công với cùng một xác suất: số lần mặt ngửa trong 20 lần tung đồng xu, số câu đoán đúng trong một bài trắc nghiệm, hoặc số bệnh nhân đáp ứng với một phương pháp điều trị. Bốn điều kiện phải đúng — n cố định, hai kết quả mỗi lần thử, p không đổi, và các lần thử không ảnh hưởng lẫn nhau.
Xác suất của đúng k lần thành công là P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k, trong đó C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) đếm số cách chọn những lần thử nào thành công. Trung bình là np và phương sai là np(1 − p). Công cụ tính các xác suất tích lũy một cách chính xác thông qua hàm beta không đầy đủ được chuẩn hóa, nên ngay cả P(X ≥ 95) trong 100 lần tung đồng xu cân đối — khoảng 6,26 × 10−23 — cũng được tính đúng thay vì bằng 0.
| Cách diễn đạt | Ký hiệu | Có bao gồm k không? |
|---|---|---|
| đúng k | P(X = k) | Chỉ k |
| tối đa k, không vượt quá k | P(X ≤ k) | Có |
| ít hơn k, nhỏ hơn k | P(X < k) = P(X ≤ k − 1) | Không |
| ít nhất k, k trở lên | P(X ≥ k) | Có |
| nhiều hơn k, lớn hơn k | P(X > k) = P(X ≥ k + 1) | Không |
| từ a đến b, bao gồm cả hai | P(a ≤ X ≤ b) | Cả hai đầu |
Vì phân phối nhị thức rời rạc, “ít nhất 12” và “nhiều hơn 12” là hai câu hỏi khác nhau với đáp số khác nhau. Chuyển cách diễn đạt thành một trong sáu dạng này thường là phần khó nhất của một bài toán nhị thức.
Ví Dụ Minh Họa: Tung Đồng Xu và Đoán Mò
Tung một đồng xu cân đối 20 lần (n = 20, p = 0,5). Xác suất đúng 12 lần mặt ngửa là C(20, 12) × 0,520 = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201. Xác suất 12 lần trở lên là P(X ≥ 12) = 0,2517, và tối đa 12 lần là 0,8684. Từ 8 đến 12 lần mặt ngửa, bao gồm cả hai đầu, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. Trung bình là 10, phương sai là 5 và độ lệch chuẩn là 2,2361.
Bây giờ là một bài trắc nghiệm 20 câu với bốn phương án mỗi câu, làm bằng cách đoán hoàn toàn (n = 20, p = 0,25). Điểm kỳ vọng là 5, và xác suất đạt với 10 câu đúng trở lên là P(X ≥ 10) = 0,0139 — khoảng 1 trong 72.
Khi nào xấp xỉ chuẩn hoạt động
Với n lớn, phân phối nhị thức trông giống phân phối chuẩn, với trung bình np và độ lệch chuẩn √(np(1 − p)). Quy tắc thường dùng là chỉ xấp xỉ khi np ≥ 10 và n(1 − p) ≥ 10 — một số sách giáo khoa chấp nhận 5 — và áp dụng hiệu chỉnh liên tục 0,5. Với ví dụ đồng xu, cả hai con số đều đúng bằng 10, và xấp xỉ cho P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, so với 0,8684 chính xác. Khi có sẵn giá trị chính xác chỉ một cú nhấp, xấp xỉ giờ chủ yếu là công cụ để giảng dạy.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm sao để tính xác suất nhị thức?
- Dùng P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k: số cách đặt k lần thành công trong n lần thử, nhân với xác suất của một dãy như vậy. Xác suất tích lũy là tổng của các số hạng này. Nhập n, p và k ở trên và công cụ tính tất cả cùng lúc.
- P(X < k) và P(X ≤ k) khác nhau thế nào?
- P(X ≤ k) bao gồm k còn P(X < k) thì không, nên P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Với 20 lần tung đồng xu cân đối, P(X ≤ 12) = 0,8684 trong khi P(X < 12) = 0,7483 — hiệu là P(X = 12) = 0,1201.
- Điều kiện để có phân phối nhị thức là gì?
- Một số lần thử cố định, hai kết quả có thể xảy ra ở mỗi lần, cùng xác suất thành công ở mọi lần, và các lần thử độc lập. Rút mẫu không hoàn lại từ một tổng thể nhỏ làm vỡ điều kiện p không đổi, nên hãy dùng phân phối siêu bội trong trường hợp đó.
- Trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối nhị thức là bao nhiêu?
- Trung bình là np, phương sai np(1 − p), và độ lệch chuẩn √(np(1 − p)). Với n = 20 và p = 0,25, trung bình là 5, phương sai là 3,75 và độ lệch chuẩn là 1,9365.
- Công cụ có hoạt động với n lớn không?
- Có. n có thể lên đến hàng triệu, vì các xác suất tích lũy được tính từ hàm beta không đầy đủ thay vì cộng hàng nghìn số hạng, nên độ chính xác không suy giảm khi n tăng. Bảng và biểu đồ cột được vẽ cho n tối đa 200, nơi chúng vẫn dễ đọc.
- Khi nào nên dùng phân phối Poisson hoặc chuẩn thay thế?
- Dùng Poisson cho số sự kiện trong một khoảng khi không có số lần thử cố định; nó cũng xấp xỉ nhị thức khi n lớn và p nhỏ. Chỉ dùng xấp xỉ chuẩn để kiểm tra chéo, và chỉ khi np và n(1 − p) đều ít nhất bằng 10.