Chuyển đến nội dung
CitationEasy

Bảng Phân Phối F

Giá trị tới hạn của phân phối F cho ANOVA, hồi quy và các kiểm định tỷ số phương sai: bậc tự do tử số 1–10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 và ∞ theo bậc tự do mẫu số 1–30, 40, 60, 120 và ∞, tại α = 0,10; 0,05; 0,025 hoặc 0,01. Tra cứu chính xác mọi tổ hợp và in một bản sạch. Miễn phí, không cần đăng ký.

Bảng cho α =

Giá trị tới hạn

F = 3,3258

Với 5 và 10 bậc tự do, diện tích 0,05 nằm phía trên 3,3258: bác bỏ H₀ khi F ≥ 3,3258.

Giá trị tới hạn dưới, với diện tích 0,05 nằm phía dưới: 0,2112 — tức là 1 / F(0,05; 10, 5), dùng cho kiểm định hai phía về tỷ số phương sai.

Các cột là bậc tự do tử số (df₁, giữa các nhóm trong ANOVA) và các hàng là bậc tự do mẫu số (df₂, trong nhóm). ∞ là giới hạn khi bậc tự do tăng không giới hạn.

Giá trị tới hạn của F với α = 0,05 (diện tích bên phải)
Bậc tự do tử số (df₁)
df₂1234567891012152024304060120∞
1161,448199,500215,707224,583230,162233,986236,768238,883240,543241,882243,906245,950248,013249,052250,095251,143252,196253,253254,314
218,51319,00019,16419,24719,29619,33019,35319,37119,38519,39619,41319,42919,44619,45419,46219,47119,47919,48719,496
310,1289,5529,2779,1179,0138,9418,8878,8458,8128,7868,7458,7038,6608,6398,6178,5948,5728,5498,526
47,7096,9446,5916,3886,2566,1636,0946,0415,9995,9645,9125,8585,8035,7745,7465,7175,6885,6585,628
56,6085,7865,4095,1925,0504,9504,8764,8184,7724,7354,6784,6194,5584,5274,4964,4644,4314,3984,365
65,9875,1434,7574,5344,3874,2844,2074,1474,0994,0604,0003,9383,8743,8413,8083,7743,7403,7053,669
75,5914,7374,3474,1203,9723,8663,7873,7263,6773,6373,5753,5113,4453,4103,3763,3403,3043,2673,230
85,3184,4594,0663,8383,6873,5813,5003,4383,3883,3473,2843,2183,1503,1153,0793,0433,0052,9672,928
95,1174,2563,8633,6333,4823,3743,2933,2303,1793,1373,0733,0062,9362,9002,8642,8262,7872,7482,707
104,9654,1033,7083,4783,3263,2173,1353,0723,0202,9782,9132,8452,7742,7372,7002,6612,6212,5802,538
114,8443,9823,5873,3573,2043,0953,0122,9482,8962,8542,7882,7192,6462,6092,5702,5312,4902,4482,404
124,7473,8853,4903,2593,1062,9962,9132,8492,7962,7532,6872,6172,5442,5052,4662,4262,3842,3412,296
134,6673,8063,4113,1793,0252,9152,8322,7672,7142,6712,6042,5332,4592,4202,3802,3392,2972,2522,206
144,6003,7393,3443,1122,9582,8482,7642,6992,6462,6022,5342,4632,3882,3492,3082,2662,2232,1782,131
154,5433,6823,2873,0562,9012,7902,7072,6412,5882,5442,4752,4032,3282,2882,2472,2042,1602,1142,066
164,4943,6343,2393,0072,8522,7412,6572,5912,5382,4942,4252,3522,2762,2352,1942,1512,1062,0592,010
174,4513,5923,1972,9652,8102,6992,6142,5482,4942,4502,3812,3082,2302,1902,1482,1042,0582,0111,960
184,4143,5553,1602,9282,7732,6612,5772,5102,4562,4122,3422,2692,1912,1502,1072,0632,0171,9681,917
194,3813,5223,1272,8952,7402,6282,5442,4772,4232,3782,3082,2342,1552,1142,0712,0261,9801,9301,878
204,3513,4933,0982,8662,7112,5992,5142,4472,3932,3482,2782,2032,1242,0822,0391,9941,9461,8961,843
214,3253,4673,0722,8402,6852,5732,4882,4202,3662,3212,2502,1762,0962,0542,0101,9651,9161,8661,812
224,3013,4433,0492,8172,6612,5492,4642,3972,3422,2972,2262,1512,0712,0281,9841,9381,8891,8381,783
234,2793,4223,0282,7962,6402,5282,4422,3752,3202,2752,2042,1282,0482,0051,9611,9141,8651,8131,757
244,2603,4033,0092,7762,6212,5082,4232,3552,3002,2552,1832,1082,0271,9841,9391,8921,8421,7901,733
254,2423,3852,9912,7592,6032,4902,4052,3372,2822,2362,1652,0892,0071,9641,9191,8721,8221,7681,711
264,2253,3692,9752,7432,5872,4742,3882,3212,2652,2202,1482,0721,9901,9461,9011,8531,8031,7491,691
274,2103,3542,9602,7282,5722,4592,3732,3052,2502,2042,1322,0561,9741,9301,8841,8361,7851,7311,672
284,1963,3402,9472,7142,5582,4452,3592,2912,2362,1902,1182,0411,9591,9151,8691,8201,7691,7141,654
294,1833,3282,9342,7012,5452,4322,3462,2782,2232,1772,1042,0271,9451,9011,8541,8061,7541,6981,638
304,1713,3162,9222,6902,5342,4212,3342,2662,2112,1652,0922,0151,9321,8871,8411,7921,7401,6831,622
404,0853,2322,8392,6062,4492,3362,2492,1802,1242,0772,0031,9241,8391,7931,7441,6931,6371,5771,509
604,0013,1502,7582,5252,3682,2542,1672,0972,0401,9931,9171,8361,7481,7001,6491,5941,5341,4671,389
1203,9203,0722,6802,4472,2902,1752,0872,0161,9591,9101,8341,7501,6591,6081,5541,4951,4291,3521,254
∞3,8412,9962,6052,3722,2142,0992,0101,9381,8801,8311,7521,6661,5711,5171,4591,3941,3181,2211,000

Cách Sử Dụng Bảng Phân Phối F

  1. 1. Chọn α. Chọn mức ý nghĩa ở phía trên. Mỗi α có một bảng riêng, vì F phụ thuộc đồng thời vào hai bậc tự do.
  2. 2. Tìm hai bậc tự do. Bậc tự do tử số (df₁) chạy ngang phía trên và bậc tự do mẫu số (df₂) chạy dọc bên cạnh. Trong ANOVA một yếu tố, df₁ = k − 1 với k nhóm và df₂ = N − k.
  3. 3. Đọc giá trị tới hạn. Nếu thống kê F của bạn lớn hơn hoặc bằng giá trị đó, kết quả có ý nghĩa ở mức đã chọn.
  4. 4. Dùng tra cứu cho mọi trường hợp khác. Mọi df₁, df₂ và α — kể cả bậc tự do mà bảng bỏ qua — cùng giá trị tới hạn dưới cho kiểm định phương sai hai phía.

Cách Đọc Bảng F

F là tỷ số của hai ước lượng phương sai, nên nó mang hai bậc tự do: df₁ cho tử số và df₂ cho mẫu số. Mỗi ô là giá trị có diện tích α nằm bên phải nó. Trong ANOVA một yếu tố so sánh 3 nhóm, mỗi nhóm 10 quan sát, df₁ = 3 − 1 = 2 và df₂ = 30 − 3 = 27; với α = 0,05 bảng cho 3,354, nên F = 3,35 chỉ chưa đạt mức ý nghĩa (p = 0,0502).

Các lần tra cứu minh họa
Tình huốngdf₁, df₂αGiá trị tới hạn
ANOVA một yếu tố, 3 nhóm, mỗi nhóm 102, 270,053,354
Hồi quy với 3 biến dự báo, n = 243, 200,053,098
Cùng hồi quy ở mức nghiêm ngặt hơn3, 200,014,938
Kiểm định hai phía về phương sai bằng nhau, n = 10 mỗi nhóm9, 90,025 ở mỗi đuôi0,2484 và 4,026
Hai nhóm so sánh bằng ANOVA (F = t²)1, 100,054,965 = 2,228²

Phân phối F không đối xứng, nên giá trị tới hạn dưới không đơn giản là số đối của giá trị tới hạn trên. Nó đến từ việc hoán đổi các bậc tự do: giá trị đuôi dưới F(α; df₁, df₂) bằng 1 / F(α; df₂, df₁) của đuôi trên — với kiểm định phương sai ở trên, 1 / 4,026 = 0,2484. Hộp tra cứu cho cả hai.

Ý Nghĩa Của Hàng và Cột ∞

Khi một giá trị bậc tự do tăng không giới hạn, ước lượng phương sai của nó trở nên chính xác, và F biến thành một chi-bình phương được co giãn: với df₂ = ∞, F = χ²(df₁) / df₁; với df₁ = ∞, F = df₂ / χ²(df₂). Bảng tính các giới hạn này một cách chính xác thay vì thay một số lớn vào, và khi cả hai đều vô hạn thì F = 1.

Những Lỗi Thường Gặp

  • Hoán đổi các bậc tự do. F(2, 24) và F(24, 2) rất khác nhau — 3,403 so với 19,454 ở α = 0,05. Bậc tự do của tử số luôn nằm trên đầu bảng.
  • Đọc nhầm bảng. Mỗi mức ý nghĩa là một bảng riêng, nên hãy kiểm tra tiêu đề phía trên bảng trước khi đọc.
  • Chia đôi α cho ANOVA. Kiểm định F của ANOVA về bản chất là kiểm định đuôi phải: với α = 0,05 hãy dùng bảng 0,05, không phải 0,025.

Câu Hỏi Thường Gặp

Làm thế nào để đọc bảng F?
Chọn bảng cho α của bạn, đi ngang phía trên tới bậc tự do tử số (df₁) và đi xuống bên cạnh tới bậc tự do mẫu số (df₂). Ô đó là giá trị tới hạn: bác bỏ giả thuyết không nếu F của bạn lớn hơn hoặc bằng giá trị này. Với df₁ = 5, df₂ = 10 và α = 0,05 thì giá trị là 3,326.
Bậc tự do của kiểm định F trong ANOVA là gì?
Với ANOVA một yếu tố có k nhóm và tổng cộng N quan sát, df₁ = k − 1 (giữa các nhóm) và df₂ = N − k (trong nhóm). Với kiểm định F tổng thể của hồi quy có p biến dự báo và n trường hợp, df₁ = p và df₂ = n − p − 1.
Kiểm định F là một đuôi hay hai đuôi?
Các kiểm định F trong ANOVA và hồi quy là đuôi phải, vì chỉ một tỷ số lớn mới là bằng chứng chống lại giả thuyết không. Kiểm định xem hai phương sai có bằng nhau hay không thường là hai phía và cần cả giá trị tới hạn trên lẫn dưới.
Nếu bậc tự do của tôi không có trong bảng thì sao?
Dùng hộp tra cứu để lấy giá trị chính xác — chẳng hạn F(0,05; 2, 35) = 3,2674. Với bảng in sẵn, lựa chọn thận trọng là bậc tự do nhỏ hơn kế tiếp có trong bảng, cho giá trị tới hạn hơi lớn hơn.
Phân phối F và t liên hệ với nhau thế nào?
Một F có một bậc tự do tử số là bình phương của một t: F(1, df) = t(df)². Đó là lý do F(0,05; 1, 10) = 4,965 = 2,228², và vì sao ANOVA trên hai nhóm cho đúng cùng giá trị p như kiểm định t độc lập hai phía.
Vì sao các giá trị tới hạn F tiến về 1 khi bậc tự do lớn?
Khi giả thuyết không đúng, tử số và mẫu số cùng ước lượng một phương sai. Với nhiều bậc tự do, cả hai ước lượng đều trở nên chính xác, nên tỷ số của chúng ổn định quanh 1; các giá trị tới hạn co về 1 khi cả hai bậc tự do tăng và bằng đúng 1 khi cả hai đều vô hạn.

Công Cụ Liên Quan

Công Cụ Tính ANOVA Một Yếu TốCông Cụ Tính ANOVA Hai Yếu TốCông Cụ Tính Hồi Quy Tuyến TínhCông Cụ Tính P-ValueBảng t (Phân Phối t của Student)Bảng Phân Phối Chi-Bình Phương

Thêm trong Máy tính thống kê