Каковы степени свободы F-теста в ANOVA?

Для однофакторного ANOVA с k группами и N наблюдениями всего df₁ = k − 1 (между группами) и df₂ = N − k (внутри групп). Для общего F-теста регрессии с p предикторами и n наблюдениями df₁ = p, а df₂ = n − p − 1.

F-тест односторонний или двусторонний?

F-тесты в ANOVA и регрессии правосторонние, потому что доказательством против нулевой гипотезы служит только большое отношение. Тест равенства двух дисперсий обычно двусторонний и требует и верхнего, и нижнего критических значений.

Что делать, если моих степеней свободы нет в таблице?

Используйте окно поиска для точного значения — например, F(0,05; 2, 35) = 3,2674. Если есть только печатная таблица, консервативный выбор — ближайшие меньшие степени свободы из таблицы: они дают немного большее критическое значение.

Как связаны распределения F и t?

F с одной степенью свободы числителя — это квадрат t: F(1, df) = t(df)². Поэтому F(0,05; 1, 10) = 4,965 = 2,228², и ANOVA для двух групп даёт в точности то же p-значение, что двусторонний t-тест для независимых выборок.

Почему критические значения F приближаются к 1 при больших степенях свободы?

Когда нулевая гипотеза верна, числитель и знаменатель оценивают одну и ту же дисперсию. При большом числе степеней свободы обе оценки становятся точными, и их отношение близко к 1; критические значения уменьшаются к 1 по мере роста обеих степеней и в точности равны 1, когда обе бесконечны.

Таблица F-распределения

Критические значения F-распределения для ANOVA, регрессии и тестов отношения дисперсий: степени свободы числителя 1–10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 и ∞ против степеней свободы знаменателя 1–30, 40, 60, 120 и ∞, при α = 0,10; 0,05; 0,025 или 0,01. Найдите любую комбинацию точно и распечатайте аккуратную копию. Бесплатно, без регистрации.

Таблица для α =

0,100,050,0250,01

Степени свободы числителя (df₁)

Степени свободы знаменателя (df₂)

Уровень значимости (α)

Критическое значение

F = 3,3258

При 5 и 10 степенях свободы площадь 0,05 лежит выше 3,3258: отвергайте H₀, когда F ≥ 3,3258.

Нижнее критическое значение, при котором площадь 0,05 лежит ниже: 0,2112 — то есть 1 / F(0,05; 10, 5), для двусторонних тестов отношения дисперсий.

Столбцы — степени свободы числителя (df₁, между группами в ANOVA), строки — степени свободы знаменателя (df₂, внутри групп). ∞ — предел, к которому стремятся степени свободы при неограниченном росте.

Критические значения F при α = 0,05 (площадь справа)
df₂	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	∞
	Степени свободы числителя (df₁)
1	161,448	199,500	215,707	224,583	230,162	233,986	236,768	238,883	240,543	241,882	243,906	245,950	248,013	249,052	250,095	251,143	252,196	253,253	254,314
2	18,513	19,000	19,164	19,247	19,296	19,330	19,353	19,371	19,385	19,396	19,413	19,429	19,446	19,454	19,462	19,471	19,479	19,487	19,496
3	10,128	9,552	9,277	9,117	9,013	8,941	8,887	8,845	8,812	8,786	8,745	8,703	8,660	8,639	8,617	8,594	8,572	8,549	8,526
4	7,709	6,944	6,591	6,388	6,256	6,163	6,094	6,041	5,999	5,964	5,912	5,858	5,803	5,774	5,746	5,717	5,688	5,658	5,628
5	6,608	5,786	5,409	5,192	5,050	4,950	4,876	4,818	4,772	4,735	4,678	4,619	4,558	4,527	4,496	4,464	4,431	4,398	4,365
6	5,987	5,143	4,757	4,534	4,387	4,284	4,207	4,147	4,099	4,060	4,000	3,938	3,874	3,841	3,808	3,774	3,740	3,705	3,669
7	5,591	4,737	4,347	4,120	3,972	3,866	3,787	3,726	3,677	3,637	3,575	3,511	3,445	3,410	3,376	3,340	3,304	3,267	3,230
8	5,318	4,459	4,066	3,838	3,687	3,581	3,500	3,438	3,388	3,347	3,284	3,218	3,150	3,115	3,079	3,043	3,005	2,967	2,928
9	5,117	4,256	3,863	3,633	3,482	3,374	3,293	3,230	3,179	3,137	3,073	3,006	2,936	2,900	2,864	2,826	2,787	2,748	2,707
10	4,965	4,103	3,708	3,478	3,326	3,217	3,135	3,072	3,020	2,978	2,913	2,845	2,774	2,737	2,700	2,661	2,621	2,580	2,538
11	4,844	3,982	3,587	3,357	3,204	3,095	3,012	2,948	2,896	2,854	2,788	2,719	2,646	2,609	2,570	2,531	2,490	2,448	2,404
12	4,747	3,885	3,490	3,259	3,106	2,996	2,913	2,849	2,796	2,753	2,687	2,617	2,544	2,505	2,466	2,426	2,384	2,341	2,296
13	4,667	3,806	3,411	3,179	3,025	2,915	2,832	2,767	2,714	2,671	2,604	2,533	2,459	2,420	2,380	2,339	2,297	2,252	2,206
14	4,600	3,739	3,344	3,112	2,958	2,848	2,764	2,699	2,646	2,602	2,534	2,463	2,388	2,349	2,308	2,266	2,223	2,178	2,131
15	4,543	3,682	3,287	3,056	2,901	2,790	2,707	2,641	2,588	2,544	2,475	2,403	2,328	2,288	2,247	2,204	2,160	2,114	2,066
16	4,494	3,634	3,239	3,007	2,852	2,741	2,657	2,591	2,538	2,494	2,425	2,352	2,276	2,235	2,194	2,151	2,106	2,059	2,010
17	4,451	3,592	3,197	2,965	2,810	2,699	2,614	2,548	2,494	2,450	2,381	2,308	2,230	2,190	2,148	2,104	2,058	2,011	1,960
18	4,414	3,555	3,160	2,928	2,773	2,661	2,577	2,510	2,456	2,412	2,342	2,269	2,191	2,150	2,107	2,063	2,017	1,968	1,917
19	4,381	3,522	3,127	2,895	2,740	2,628	2,544	2,477	2,423	2,378	2,308	2,234	2,155	2,114	2,071	2,026	1,980	1,930	1,878
20	4,351	3,493	3,098	2,866	2,711	2,599	2,514	2,447	2,393	2,348	2,278	2,203	2,124	2,082	2,039	1,994	1,946	1,896	1,843
21	4,325	3,467	3,072	2,840	2,685	2,573	2,488	2,420	2,366	2,321	2,250	2,176	2,096	2,054	2,010	1,965	1,916	1,866	1,812
22	4,301	3,443	3,049	2,817	2,661	2,549	2,464	2,397	2,342	2,297	2,226	2,151	2,071	2,028	1,984	1,938	1,889	1,838	1,783
23	4,279	3,422	3,028	2,796	2,640	2,528	2,442	2,375	2,320	2,275	2,204	2,128	2,048	2,005	1,961	1,914	1,865	1,813	1,757
24	4,260	3,403	3,009	2,776	2,621	2,508	2,423	2,355	2,300	2,255	2,183	2,108	2,027	1,984	1,939	1,892	1,842	1,790	1,733
25	4,242	3,385	2,991	2,759	2,603	2,490	2,405	2,337	2,282	2,236	2,165	2,089	2,007	1,964	1,919	1,872	1,822	1,768	1,711
26	4,225	3,369	2,975	2,743	2,587	2,474	2,388	2,321	2,265	2,220	2,148	2,072	1,990	1,946	1,901	1,853	1,803	1,749	1,691
27	4,210	3,354	2,960	2,728	2,572	2,459	2,373	2,305	2,250	2,204	2,132	2,056	1,974	1,930	1,884	1,836	1,785	1,731	1,672
28	4,196	3,340	2,947	2,714	2,558	2,445	2,359	2,291	2,236	2,190	2,118	2,041	1,959	1,915	1,869	1,820	1,769	1,714	1,654
29	4,183	3,328	2,934	2,701	2,545	2,432	2,346	2,278	2,223	2,177	2,104	2,027	1,945	1,901	1,854	1,806	1,754	1,698	1,638
30	4,171	3,316	2,922	2,690	2,534	2,421	2,334	2,266	2,211	2,165	2,092	2,015	1,932	1,887	1,841	1,792	1,740	1,683	1,622
40	4,085	3,232	2,839	2,606	2,449	2,336	2,249	2,180	2,124	2,077	2,003	1,924	1,839	1,793	1,744	1,693	1,637	1,577	1,509
60	4,001	3,150	2,758	2,525	2,368	2,254	2,167	2,097	2,040	1,993	1,917	1,836	1,748	1,700	1,649	1,594	1,534	1,467	1,389
120	3,920	3,072	2,680	2,447	2,290	2,175	2,087	2,016	1,959	1,910	1,834	1,750	1,659	1,608	1,554	1,495	1,429	1,352	1,254
∞	3,841	2,996	2,605	2,372	2,214	2,099	2,010	1,938	1,880	1,831	1,752	1,666	1,571	1,517	1,459	1,394	1,318	1,221	1,000

Как пользоваться таблицей F-распределения

1. Выберите α. Выберите уровень значимости вверху. У каждого α своя таблица, потому что F зависит сразу от двух степеней свободы.
2. Найдите две степени свободы. Степени свободы числителя (df₁) идут поперёк сверху, а степени свободы знаменателя (df₂) — вниз по боковой колонке. В однофакторном ANOVA df₁ = k − 1 для k групп, а df₂ = N − k.
3. Прочитайте критическое значение. Если ваша статистика F не меньше этого значения, результат значим на выбранном уровне.
4. Используйте поиск для всего остального. Любые df₁, df₂ и α — в том числе степени свободы, которых нет в таблице, — а также нижнее критическое значение для двусторонних тестов дисперсий.

Как читать таблицу F

F — это отношение двух оценок дисперсии, поэтому у него две степени свободы: df₁ для числителя и df₂ для знаменателя. Каждое значение в таблице — это величина, справа от которой лежит площадь α. В однофакторном ANOVA, где сравниваются 3 группы по 10 наблюдений, df₁ = 3 − 1 = 2, а df₂ = 30 − 3 = 27; при α = 0,05 таблица даёт 3,354, поэтому F = 3,35 немного не доходит до значимости (p = 0,0502).

Примеры поиска
Ситуация	df₁, df₂	α	Критическое значение
Однофакторный ANOVA, 3 группы по 10	2, 27	0,05	3,354
Регрессия с 3 предикторами, n = 24	3, 20	0,05	3,098
Та же регрессия на более строгом уровне	3, 20	0,01	4,938
Двусторонний тест равенства дисперсий, n = 10 в каждой группе	9, 9	0,025 в каждом хвосте	0,2484 и 4,026
Две группы, сравниваемые ANOVA (F = t²)	1, 10	0,05	4,965 = 2,228²

F-распределение несимметрично, поэтому нижнее критическое значение не равно просто отрицательному верхнему. Оно получается перестановкой степеней свободы: нижнее значение F(α; df₁, df₂) равно 1 / F(α; df₂, df₁) из верхнего хвоста — для теста дисперсий выше это 1 / 4,026 = 0,2484. Окно поиска даёт оба значения.

Что означают строка и столбец ∞

По мере неограниченного роста степени свободы оценка дисперсии становится точной, и F превращается в масштабированное χ²: при df₂ = ∞ F = χ²(df₁) / df₁; при df₁ = ∞ F = df₂ / χ²(df₂). Таблица вычисляет эти пределы точно, а не подставляет большое число; если обе степени бесконечны, F = 1.

Типичные ошибки

Перестановка степеней свободы. F(2, 24) и F(24, 2) очень различаются: 3,403 против 19,454 при α = 0,05. Степени свободы числителя всегда идут поперёк сверху.
Чтение не той таблицы. Каждый уровень значимости — отдельная таблица, поэтому проверьте заголовок над таблицей, прежде чем читать из неё.
Деление α пополам для ANOVA. Тест F в ANOVA по построению правосторонний: для α = 0,05 берите таблицу 0,05, а не 0,025.

Часто задаваемые вопросы

Как читать таблицу F?: Выберите таблицу для вашего α, пройдите поперёк сверху до степеней свободы числителя (df₁) и вниз по боковой колонке до степеней свободы знаменателя (df₂). В ячейке — критическое значение: отвергайте нулевую гипотезу, если ваша F не меньше него. Для df₁ = 5, df₂ = 10 и α = 0,05 оно равно 3,326.
Каковы степени свободы F-теста в ANOVA?: Для однофакторного ANOVA с k группами и N наблюдениями всего df₁ = k − 1 (между группами) и df₂ = N − k (внутри групп). Для общего F-теста регрессии с p предикторами и n наблюдениями df₁ = p, а df₂ = n − p − 1.
F-тест односторонний или двусторонний?: F-тесты в ANOVA и регрессии правосторонние, потому что доказательством против нулевой гипотезы служит только большое отношение. Тест равенства двух дисперсий обычно двусторонний и требует и верхнего, и нижнего критических значений.
Что делать, если моих степеней свободы нет в таблице?: Используйте окно поиска для точного значения — например, F(0,05; 2, 35) = 3,2674. Если есть только печатная таблица, консервативный выбор — ближайшие меньшие степени свободы из таблицы: они дают немного большее критическое значение.
Как связаны распределения F и t?: F с одной степенью свободы числителя — это квадрат t: F(1, df) = t(df)². Поэтому F(0,05; 1, 10) = 4,965 = 2,228², и ANOVA для двух групп даёт в точности то же p-значение, что двусторонний t-тест для независимых выборок.
Почему критические значения F приближаются к 1 при больших степенях свободы?: Когда нулевая гипотеза верна, числитель и знаменатель оценивают одну и ту же дисперсию. При большом числе степеней свободы обе оценки становятся точными, и их отношение близко к 1; критические значения уменьшаются к 1 по мере роста обеих степеней и в точности равны 1, когда обе бесконечны.