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Tabella della distribuzione F

Valori critici della distribuzione F per ANOVA, regressione e test sul rapporto tra varianze: gradi di libertà del numeratore da 1 a 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 e ∞ contro gradi di libertà del denominatore da 1 a 30, 40, 60, 120 e ∞, con α = 0,10, 0,05, 0,025 o 0,01. Cerca qualsiasi combinazione in modo esatto e stampa una copia pulita. Gratuito, senza registrazione.

Tabella per α =

Valore critico

F = 3,3258

Con 5 e 10 gradi di libertà, un'area pari a 0,05 si trova sopra 3,3258: rifiuta H₀ quando F ≥ 3,3258.

Valore critico inferiore, con un'area di 0,05 al di sotto: 0,2112, cioè 1 / F(0,05; 10, 5), per i test bilaterali sul rapporto tra varianze.

Le colonne sono i gradi di libertà del numeratore (df₁, tra gruppi nell'ANOVA) e le righe i gradi di libertà del denominatore (df₂, entro i gruppi). ∞ è il limite quando i gradi di libertà crescono senza limiti.

Valori critici di F per α = 0,05 (area a destra)
Gradi di libertà del numeratore (df₁)
df₂1234567891012152024304060120∞
1161,448199,500215,707224,583230,162233,986236,768238,883240,543241,882243,906245,950248,013249,052250,095251,143252,196253,253254,314
218,51319,00019,16419,24719,29619,33019,35319,37119,38519,39619,41319,42919,44619,45419,46219,47119,47919,48719,496
310,1289,5529,2779,1179,0138,9418,8878,8458,8128,7868,7458,7038,6608,6398,6178,5948,5728,5498,526
47,7096,9446,5916,3886,2566,1636,0946,0415,9995,9645,9125,8585,8035,7745,7465,7175,6885,6585,628
56,6085,7865,4095,1925,0504,9504,8764,8184,7724,7354,6784,6194,5584,5274,4964,4644,4314,3984,365
65,9875,1434,7574,5344,3874,2844,2074,1474,0994,0604,0003,9383,8743,8413,8083,7743,7403,7053,669
75,5914,7374,3474,1203,9723,8663,7873,7263,6773,6373,5753,5113,4453,4103,3763,3403,3043,2673,230
85,3184,4594,0663,8383,6873,5813,5003,4383,3883,3473,2843,2183,1503,1153,0793,0433,0052,9672,928
95,1174,2563,8633,6333,4823,3743,2933,2303,1793,1373,0733,0062,9362,9002,8642,8262,7872,7482,707
104,9654,1033,7083,4783,3263,2173,1353,0723,0202,9782,9132,8452,7742,7372,7002,6612,6212,5802,538
114,8443,9823,5873,3573,2043,0953,0122,9482,8962,8542,7882,7192,6462,6092,5702,5312,4902,4482,404
124,7473,8853,4903,2593,1062,9962,9132,8492,7962,7532,6872,6172,5442,5052,4662,4262,3842,3412,296
134,6673,8063,4113,1793,0252,9152,8322,7672,7142,6712,6042,5332,4592,4202,3802,3392,2972,2522,206
144,6003,7393,3443,1122,9582,8482,7642,6992,6462,6022,5342,4632,3882,3492,3082,2662,2232,1782,131
154,5433,6823,2873,0562,9012,7902,7072,6412,5882,5442,4752,4032,3282,2882,2472,2042,1602,1142,066
164,4943,6343,2393,0072,8522,7412,6572,5912,5382,4942,4252,3522,2762,2352,1942,1512,1062,0592,010
174,4513,5923,1972,9652,8102,6992,6142,5482,4942,4502,3812,3082,2302,1902,1482,1042,0582,0111,960
184,4143,5553,1602,9282,7732,6612,5772,5102,4562,4122,3422,2692,1912,1502,1072,0632,0171,9681,917
194,3813,5223,1272,8952,7402,6282,5442,4772,4232,3782,3082,2342,1552,1142,0712,0261,9801,9301,878
204,3513,4933,0982,8662,7112,5992,5142,4472,3932,3482,2782,2032,1242,0822,0391,9941,9461,8961,843
214,3253,4673,0722,8402,6852,5732,4882,4202,3662,3212,2502,1762,0962,0542,0101,9651,9161,8661,812
224,3013,4433,0492,8172,6612,5492,4642,3972,3422,2972,2262,1512,0712,0281,9841,9381,8891,8381,783
234,2793,4223,0282,7962,6402,5282,4422,3752,3202,2752,2042,1282,0482,0051,9611,9141,8651,8131,757
244,2603,4033,0092,7762,6212,5082,4232,3552,3002,2552,1832,1082,0271,9841,9391,8921,8421,7901,733
254,2423,3852,9912,7592,6032,4902,4052,3372,2822,2362,1652,0892,0071,9641,9191,8721,8221,7681,711
264,2253,3692,9752,7432,5872,4742,3882,3212,2652,2202,1482,0721,9901,9461,9011,8531,8031,7491,691
274,2103,3542,9602,7282,5722,4592,3732,3052,2502,2042,1322,0561,9741,9301,8841,8361,7851,7311,672
284,1963,3402,9472,7142,5582,4452,3592,2912,2362,1902,1182,0411,9591,9151,8691,8201,7691,7141,654
294,1833,3282,9342,7012,5452,4322,3462,2782,2232,1772,1042,0271,9451,9011,8541,8061,7541,6981,638
304,1713,3162,9222,6902,5342,4212,3342,2662,2112,1652,0922,0151,9321,8871,8411,7921,7401,6831,622
404,0853,2322,8392,6062,4492,3362,2492,1802,1242,0772,0031,9241,8391,7931,7441,6931,6371,5771,509
604,0013,1502,7582,5252,3682,2542,1672,0972,0401,9931,9171,8361,7481,7001,6491,5941,5341,4671,389
1203,9203,0722,6802,4472,2902,1752,0872,0161,9591,9101,8341,7501,6591,6081,5541,4951,4291,3521,254
∞3,8412,9962,6052,3722,2142,0992,0101,9381,8801,8311,7521,6661,5711,5171,4591,3941,3181,2211,000

Come usare la tabella della distribuzione F

  1. 1. Scegli α. Seleziona il livello di significatività in alto. Ogni α ha la sua tabella, perché F dipende da due gradi di libertà contemporaneamente.
  2. 2. Trova i due gradi di libertà. I gradi di libertà del numeratore (df₁) corrono in orizzontale in alto e quelli del denominatore (df₂) in verticale a sinistra. In un'ANOVA a una via, df₁ = k − 1 per k gruppi e df₂ = N − k.
  3. 3. Leggi il valore critico. Se la tua statistica F è almeno così grande, il risultato è significativo al livello scelto.
  4. 4. Usa la ricerca per il resto. Qualsiasi df₁, df₂ e α, compresi i df che la tabella salta, più il valore critico inferiore per i test bilaterali sulle varianze.

Come leggere la tabella F

F è il rapporto tra due stime di varianza, quindi porta con sé due gradi di libertà: df₁ per il numeratore e df₂ per il denominatore. Ogni valore è quello che lascia un'area di α alla sua destra. In un'ANOVA a una via che confronta 3 gruppi di 10, df₁ = 3 − 1 = 2 e df₂ = 30 − 3 = 27; con α = 0,05 la tabella dà 3,354, quindi un F di 3,35 non raggiunge di poco la significatività (p = 0,0502).

Ricerche di esempio
Situazionedf₁, df₂αValore critico
ANOVA a una via, 3 gruppi di 102, 270,053,354
Regressione con 3 predittori, n = 243, 200,053,098
La stessa regressione a un livello più severo3, 200,014,938
Test bilaterale sull'uguaglianza delle varianze, n = 10 per gruppo9, 90,025 in ciascuna coda0,2484 e 4,026
Due gruppi confrontati con l'ANOVA (F = t²)1, 100,054,965 = 2,228²

La distribuzione F non è simmetrica, quindi il valore critico inferiore non è semplicemente l'opposto di quello superiore. Si ottiene scambiando i gradi di libertà: il valore della coda inferiore F(α; df₁, df₂) è uguale a 1 / F(α; df₂, df₁) della coda superiore. Per il test sulla varianza qui sopra, 1 / 4,026 = 0,2484. La casella di ricerca fornisce entrambi.

Che cosa significano la riga e la colonna ∞

Quando un grado di libertà cresce senza limiti, la sua stima di varianza diventa esatta e F si trasforma in un chi quadrato riscalato: con df₂ = ∞, F = χ²(df₁) / df₁; con df₁ = ∞, F = df₂ / χ²(df₂). La tabella calcola questi limiti in modo esatto invece di sostituire un numero grande, e dove entrambi sono infiniti F = 1.

Errori comuni

  • Scambiare i gradi di libertà. F(2, 24) e F(24, 2) sono molto diversi: 3,403 contro 19,454 con α = 0,05. Il numeratore va sempre in alto.
  • Leggere la tabella sbagliata. Ogni livello di significatività è una tabella separata, quindi controlla l'intestazione sopra la tabella prima di leggerla.
  • Dimezzare α per l'ANOVA. Il test F dell'ANOVA è per costruzione a coda destra: per α = 0,05 usa la tabella dello 0,05, non quella dello 0,025.

Domande frequenti

Come si legge una tabella F?
Scegli la tabella per il tuo α, vai in orizzontale fino ai gradi di libertà del numeratore (df₁) e in verticale fino ai gradi di libertà del denominatore (df₂). La voce è il valore critico: rifiuta l'ipotesi nulla se la tua F è almeno così grande. Per df₁ = 5, df₂ = 10 e α = 0,05 vale 3,326.
Quali sono i gradi di libertà per un test F nell'ANOVA?
Per un'ANOVA a una via con k gruppi e N osservazioni in totale, df₁ = k − 1 (tra gruppi) e df₂ = N − k (entro i gruppi). Per il test F complessivo di una regressione con p predittori e n casi, df₁ = p e df₂ = n − p − 1.
Il test F è a una coda o a due code?
I test F dell'ANOVA e della regressione sono a coda destra, perché solo un rapporto grande costituisce una prova contro l'ipotesi nulla. Un test sull'uguaglianza di due varianze è di solito bilaterale e richiede sia il valore critico superiore sia quello inferiore.
Che cosa faccio se i miei gradi di libertà non sono nella tabella?
Usa la casella di ricerca per il valore esatto, per esempio F(0,05; 2, 35) = 3,2674. Con una tabella soltanto stampata, la scelta prudente è il df più piccolo successivo presente nella tabella, che dà un valore critico leggermente più grande.
Come sono collegate le distribuzioni F e t?
Una F con un solo grado di libertà del numeratore è il quadrato di una t: F(1, df) = t(df)². Ecco perché F(0,05; 1, 10) = 4,965 = 2,228², e perché un'ANOVA su due gruppi dà esattamente lo stesso p-value di un test t bilaterale per campioni indipendenti.
Perché i valori critici di F si avvicinano a 1 per gradi di libertà grandi?
Quando l'ipotesi nulla è vera, il numeratore e il denominatore stimano la stessa varianza. Con molti gradi di libertà entrambe le stime diventano precise, quindi il loro rapporto si avvicina a 1; i valori critici diminuiscono verso 1 man mano che entrambi i df crescono e diventano esattamente 1 quando sono entrambi infiniti.

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