Calcolatore del Teorema di Bayes

Funzionano anche le frazioni come 1/250 e i valori con il segno %.

Come usare il Calcolatore del Teorema di Bayes

1. 1. Scegli che cosa sai. Di solito la probabilità a priori P(A), la probabilità dell'evidenza se A è vera, P(B|A), e se A è falsa, P(B|non A). Se conosci invece la P(B) complessiva, passa alla seconda opzione.
2. 2. Scegli percentuali o decimali. In modalità percentuale scrivi 1 per l'1%; in modalità decimale, 0,01. Anche le frazioni come 1/250 funzionano in entrambe.
3. 3. Leggi P(A|B). La probabilità a posteriori compare insieme a P(B) e alle probabilità dopo un risultato negativo, P(A|non B) e P(non A|non B).
4. 4. Controlla la tabella delle persone. Gli stessi numeri come conteggi su 1.000, 10.000 o 100.000 persone mostrano da dove viene la risposta.

Il teorema di Bayes

P(A) è la probabilità a priori — quanto è probabile A prima di vedere l'evidenza. P(B|A) è la verosimiglianza dell'evidenza se A è vera, e P(B|non A) la sua verosimiglianza se A è falsa. P(B) è quanto spesso l'evidenza compare nel complesso. Il risultato, P(A|B), è la probabilità a posteriori: quanto è probabile A ora che hai visto B. In un test diagnostico, questi sono rispettivamente la prevalenza, la sensibilità, il tasso di falsi positivi (1 − specificità) e il valore predittivo positivo.

L'esempio classico del test medico

Una condizione colpisce l'1% delle persone. Un test di screening la rileva nel 90% dei casi (sensibilità), ma risulta positivo anche per il 9% delle persone che non ce l'hanno. Una persona risulta positiva. Quanto è probabile che abbia la condizione? Molti stimano un valore vicino al 90%. Il teorema di Bayes dice: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, quindi P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17%.

Contate come persone, la risposta è facile da vedere: dei 981 risultati positivi, solo 90 provengono da persone con la condizione, e 90 ÷ 981 = 9,17%. Il test non è cattivo — la condizione è rara, quindi il 9% di falsi positivi tra 9.900 persone sane supera di molto i veri positivi tra 100 malate. Gli psicologi Gerd Gigerenzer e Ulrich Hoffrage (1995) hanno mostrato che presentare i problemi come frequenze naturali come queste porta le persone a ragionare molto più accuratamente che presentando le probabilità.

Perché la probabilità a priori conta tanto

Mantieni lo stesso test ma applicalo dove la condizione colpisce il 10% dei pazienti — un ambulatorio specialistico anziché uno screening di popolazione — e un risultato positivo significa una probabilità del 52,63% di averla. Oppure ripeti il test: se il primo positivo porta la probabilità al 9,17%, usa questo valore come nuova probabilità a priori, e un secondo risultato positivo (da un test indipendente con la stessa accuratezza) la porta al 50,25%. È per questo che i programmi di screening confermano i positivi con un secondo test, e perché la stessa evidenza ha significati diversi in popolazioni diverse.

Ignorare la probabilità a priori è la fallacia del tasso di base, e non è solo un problema medico. Filtri antispam, prove forensi, avvisi di frode e classificatori di apprendimento automatico affrontano tutti questo problema: quando ciò che cerchi è raro, la maggior parte degli allarmi è falsa anche se il rilevatore è buono.

Domande frequenti

Che cos'è il teorema di Bayes in parole semplici?

È una regola per aggiornare una probabilità quando ottieni nuove evidenze. Parti da quanto era probabile qualcosa in precedenza (la probabilità a priori), valuta quanto è più probabile l'evidenza se la cosa è vera rispetto a se è falsa, e ottieni la probabilità aggiornata (la probabilità a posteriori). La formula è P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

Qual è la differenza tra P(A|B) e P(B|A)?

Rispondono a domande opposte. P(B|A) è la probabilità di un test positivo se hai la condizione — la sensibilità, il 90% nell'esempio. P(A|B) è la probabilità di avere la condizione se il test è positivo — il 9,17% nell'esempio. Confondere le due cose — l'errore della condizionale invertita, o in tribunale l'errore del pubblico ministero — è uno degli errori più comuni nel ragionamento sulle prove.

Come trovo P(B) per il teorema di Bayes?

Di solito lo calcoli con la legge della probabilità totale: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|non A) × (1 − P(A)). Questa è la prima modalità di input qui. Se conosci già P(B) — per esempio da dati di un sondaggio — usa la seconda modalità, e il calcolatore ricava la P(B|non A) implicita.

Che cosa sono sensibilità e specificità?

La sensibilità è la quota di persone con la condizione che risultano positive, P(positivo|condizione). La specificità è la quota di persone senza la condizione che risultano negative, P(negativo|nessuna condizione). Il tasso di falsi positivi richiesto da questo calcolatore è 1 − specificità, quindi un test con specificità del 91% ha un tasso di falsi positivi del 9%.

Che cos'è la fallacia del tasso di base?

È giudicare la probabilità di qualcosa da quanto l'evidenza vi si adatta, ignorando quanto è comune in partenza. Con una condizione rara, anche un risultato positivo di un test accurato di solito proviene da una persona senza la condizione, perché ce ne sono molte di più.

Posso usare il teorema di Bayes con più di due esiti?

Sì. Con diverse ipotesi mutuamente esclusive A₁, A₂, …, il denominatore diventa la somma di P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) su tutte. Questo calcolatore gestisce il caso comune a due esiti — A o non A — che copre test diagnostici, screening e la maggior parte dei problemi da manuale.