Satz-von-Bayes-Rechner

Brüche wie 1/250 und Werte mit %-Zeichen funktionieren ebenfalls.

So verwenden Sie den Satz-von-Bayes-Rechner

1. 1. Wählen Sie, was Sie wissen. Meist sind das die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A), die Wahrscheinlichkeit des Befunds, wenn A zutrifft, P(B|A), und wenn A nicht zutrifft, P(B|nicht A). Kennen Sie stattdessen die Gesamtwahrscheinlichkeit P(B), wechseln Sie zur zweiten Option.
2. 2. Wählen Sie Prozent oder Dezimalzahlen. Im Prozentmodus geben Sie 1 für 1 % ein, im Dezimalmodus 0,01. Brüche wie 1/250 funktionieren in beiden.
3. 3. Lesen Sie P(A|B) ab. Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit erscheint zusammen mit P(B) und den Wahrscheinlichkeiten nach einem negativen Ergebnis, P(A|nicht B) und P(nicht A|nicht B).
4. 4. Prüfen Sie die Personentabelle. Dieselben Zahlen als Anzahlen von 1.000, 10.000 oder 100.000 Personen zeigen, woher das Ergebnis kommt.

Der Satz von Bayes

P(A) ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit – wie wahrscheinlich A war, bevor Sie den Befund gesehen haben. P(B|A) ist die Likelihood des Befunds, wenn A zutrifft, und P(B|nicht A) seine Likelihood, wenn A nicht zutrifft. P(B) gibt an, wie oft der Befund insgesamt auftritt. Das Ergebnis, P(A|B), ist die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit: wie wahrscheinlich A jetzt ist, nachdem Sie B gesehen haben. Bei einem diagnostischen Test entsprechen diese Größen der Prävalenz, der Sensitivität, der Falsch-positiv-Rate (1 − Spezifität) und dem positiven prädiktiven Wert.

Das klassische Beispiel eines medizinischen Tests

Eine Erkrankung betrifft 1 % der Menschen. Ein Screening-Test erkennt sie in 90 % der Fälle (Sensitivität), zeigt aber auch bei 9 % der Gesunden ein positives Ergebnis. Eine Person testet positiv. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie die Erkrankung hat? Viele tippen auf knapp 90 %. Der Satz von Bayes sagt: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, also P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17 %.

Als Personen gezählt ist die Antwort leicht zu sehen: Von den 981 positiven Ergebnissen stammen nur 90 von Menschen mit der Erkrankung, und 90 ÷ 981 = 9,17 %. Der Test ist nicht schlecht – die Erkrankung ist selten, daher überwiegen die 9 % falsch positiven Ergebnisse unter 9.900 Gesunden die richtig positiven unter 100 Kranken. Die Psychologen Gerd Gigerenzer und Ulrich Hoffrage zeigten 1995, dass Menschen weit genauer schließen, wenn Probleme als natürliche Häufigkeiten wie diese dargestellt werden und nicht als Wahrscheinlichkeiten.

Warum die A-priori-Wahrscheinlichkeit so viel ausmacht

Behalten Sie denselben Test, wenden Sie ihn aber dort an, wo die Erkrankung 10 % der Patienten betrifft – in einer Fachklinik statt in einem Bevölkerungsscreening –, dann bedeutet ein positives Ergebnis eine Chance von 52,63 %, die Erkrankung zu haben. Oder testen Sie erneut: Hebt der erste positive Befund die Wahrscheinlichkeit auf 9,17 %, nehmen Sie diesen Wert als neue A-priori-Wahrscheinlichkeit. Ein zweites positives Ergebnis (aus einem unabhängigen Test mit gleicher Genauigkeit) hebt sie dann auf 50,25 %. Deshalb bestätigen Screening-Programme positive Befunde mit einem zweiten Test, und dieselben Befunde bedeuten in verschiedenen Bevölkerungsgruppen Unterschiedliches.

Die A-priori-Wahrscheinlichkeit zu ignorieren ist der Basisraten-Fehlschluss, und er ist nicht nur ein medizinisches Problem. Spamfilter, forensische Befunde, Betrugswarnungen und Klassifikatoren des maschinellen Lernens sind alle betroffen: Wenn das Gesuchte selten ist, sind die meisten Alarme falsch, selbst wenn der Detektor gut ist.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Satz von Bayes, einfach erklärt?

Er ist eine Regel, um eine Wahrscheinlichkeit bei neuen Belegen zu aktualisieren. Sie beginnen mit der Wahrscheinlichkeit vor dem Befund (der A-priori-Wahrscheinlichkeit), gewichten, wie viel wahrscheinlicher der Befund ist, wenn A zutrifft, als wenn nicht, und erhalten die aktualisierte Wahrscheinlichkeit (die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit). Die Formel lautet P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

Worin unterscheiden sich P(A|B) und P(B|A)?

Sie beantworten entgegengesetzte Fragen. P(B|A) ist die Chance eines positiven Tests, wenn Sie die Erkrankung haben – die Sensitivität, im Beispiel 90 %. P(A|B) ist die Chance, die Erkrankung zu haben, wenn Sie positiv getestet werden – im Beispiel 9,17 %. Beides zu verwechseln, also der Fehlschluss der vertauschten Bedingung oder vor Gericht der Staatsanwaltsfehlschluss, gehört zu den häufigsten Fehlern beim Schließen aus Belegen.

Wie finde ich P(B) für den Satz von Bayes?

Meist berechnen Sie es mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|nicht A) × (1 − P(A)). Das ist der erste Eingabemodus hier. Wenn Sie P(B) bereits kennen – etwa aus Umfragedaten –, nutzen Sie den zweiten Modus. Der Rechner ermittelt dann die abgeleitete P(B|nicht A).

Was sind Sensitivität und Spezifität?

Die Sensitivität ist der Anteil der Menschen mit der Erkrankung, die positiv getestet werden: P(positiv|Erkrankung). Die Spezifität ist der Anteil der Menschen ohne die Erkrankung, die negativ getestet werden: P(negativ|keine Erkrankung). Die Falsch-positiv-Rate, nach der dieser Rechner fragt, ist 1 − Spezifität. Ein Test mit 91 % Spezifität hat also eine Falsch-positiv-Rate von 9 %.

Was ist der Basisraten-Fehlschluss?

Er bedeutet, die Wahrscheinlichkeit einer Sache danach zu beurteilen, wie gut der Befund zu ihr passt, und dabei zu ignorieren, wie verbreitet sie überhaupt ist. Bei einer seltenen Erkrankung stammt selbst ein positives Ergebnis eines genauen Tests meist von einer Person ohne die Erkrankung, weil es von diesen so viel mehr gibt.

Kann ich den Satz von Bayes auch mit mehr als zwei Ergebnissen verwenden?

Ja. Bei mehreren sich gegenseitig ausschließenden Hypothesen A₁, A₂, … wird der Nenner zur Summe von P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) über alle von ihnen. Dieser Rechner behandelt den häufigen Fall mit zwei Ergebnissen – A oder nicht A –, der diagnostische Tests, Screenings und die meisten Lehrbuchaufgaben abdeckt.