Calculadora do Teorema de Bayes

Frações como 1/250, e valores com o sinal de %, também funcionam.

Como usar a Calculadora do Teorema de Bayes

1. 1. Escolha o que você sabe. Normalmente a probabilidade a priori P(A), a probabilidade da evidência quando A é verdadeiro, P(B|A), e quando A é falso, P(B|não A). Se você conhece a P(B) total, mude para a segunda opção.
2. 2. Escolha porcentagens ou decimais. No modo de porcentagem, digite 1 para 1%; no modo decimal, 0,01. Frações como 1/250 funcionam nos dois modos.
3. 3. Leia P(A|B). A probabilidade a posteriori aparece junto com P(B) e com as probabilidades depois de um resultado negativo, P(A|não B) e P(não A|não B).
4. 4. Confira a tabela de pessoas. Os mesmos números como contagens de 1.000, 10.000 ou 100.000 pessoas mostram de onde vem a resposta.

Teorema de Bayes

P(A) é a probabilidade a priori — quão provável A era antes de você ver a evidência. P(B|A) é a verossimilhança da evidência se A for verdadeiro, e P(B|não A), a verossimilhança se A for falso. P(B) é com que frequência a evidência aparece no total. O resultado, P(A|B), é a probabilidade a posteriori: quão provável A é agora que você viu B. Em um teste diagnóstico, esses valores são a prevalência, a sensibilidade, a taxa de falsos positivos (1 − especificidade) e o valor preditivo positivo.

O clássico exemplo do teste médico

Uma condição afeta 1% das pessoas. Um teste de triagem a detecta em 90% das vezes (sensibilidade), mas também dá positivo para 9% das pessoas que não a têm. Alguém testa positivo. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha a condição? Muitas pessoas chutam algo perto de 90%. O teorema de Bayes diz: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, logo P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17%.

Contadas como pessoas, a resposta fica fácil de ver: dos 981 resultados positivos, apenas 90 vêm de pessoas com a condição, e 90 ÷ 981 = 9,17%. O teste não é ruim — a condição é rara, então os 9% de falsos positivos entre 9.900 pessoas saudáveis superam os verdadeiros positivos entre as 100 doentes. Os psicólogos Gerd Gigerenzer e Ulrich Hoffrage (1995) mostraram que apresentar os problemas como frequências naturais, como estas, faz as pessoas raciocinarem com muito mais precisão do que quando recebem probabilidades.

Por que a probabilidade a priori importa tanto

Mantenha o mesmo teste, mas aplique-o onde a condição afeta 10% dos pacientes — uma clínica especializada em vez de uma triagem populacional — e um resultado positivo significa 52,63% de chance de ter a condição. Ou repita o teste: se o primeiro positivo eleva a probabilidade para 9,17%, use esse valor como nova probabilidade a priori, e um segundo resultado positivo (de um teste independente, com a mesma precisão) a eleva para 50,25%. É por isso que os programas de triagem confirmam os positivos com um segundo teste, e por que a mesma evidência significa coisas diferentes em populações diferentes.

Ignorar a probabilidade a priori é a falácia da taxa-base, e não é só um problema médico. Filtros de spam, provas forenses, alertas de fraude e classificadores de aprendizado de máquina enfrentam todos essa falha: quando o que você procura é raro, a maioria dos alarmes é falsa, mesmo que o detector seja bom.

Perguntas frequentes

O que é o teorema de Bayes, em termos simples?

É uma regra para atualizar uma probabilidade quando surge uma nova evidência. Comece com a probabilidade de algo antes da evidência (a probabilidade a priori), pese o quanto a evidência é mais provável se ele for verdadeiro do que se for falso, e você obtém a probabilidade atualizada (a probabilidade a posteriori). A fórmula é P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

Qual a diferença entre P(A|B) e P(B|A)?

Elas respondem perguntas opostas. P(B|A) é a chance de um teste positivo se você tem a condição — a sensibilidade, 90% no exemplo. P(A|B) é a chance de você ter a condição se testar positivo — 9,17% no exemplo. Confundir as duas — a falácia da condicional invertida, ou, no tribunal, a falácia do promotor — é um dos erros mais comuns no raciocínio sobre evidências.

Como encontro P(B) para o teorema de Bayes?

Normalmente você o calcula pela lei da probabilidade total: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|não A) × (1 − P(A)). Esse é o primeiro modo de entrada aqui. Se você já conhece P(B) — por exemplo, a partir de dados de uma pesquisa —, use o segundo modo, e a calculadora determina a P(B|não A) implícita.

O que são sensibilidade e especificidade?

A sensibilidade é a proporção de pessoas com a condição que testam positivo, P(positivo|condição). A especificidade é a proporção de pessoas sem a condição que testam negativo, P(negativo|sem condição). A taxa de falsos positivos que esta calculadora pede é 1 − especificidade, então um teste com 91% de especificidade tem taxa de falsos positivos de 9%.

O que é a falácia da taxa-base?

É julgar a probabilidade de algo pelo quanto a evidência se ajusta a ele, ignorando quão comum esse algo é para começo de conversa. Com uma condição rara, mesmo um resultado positivo de um teste preciso geralmente vem de alguém sem a condição, porque há muito mais pessoas assim.

Posso usar o teorema de Bayes com mais de dois resultados?

Sim. Com várias hipóteses mutuamente exclusivas A₁, A₂, …, o denominador passa a ser a soma de P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) sobre todas elas. Esta calculadora trata o caso comum de dois resultados — A ou não A —, que cobre testes diagnósticos, triagens e a maioria dos problemas de livros didáticos.