Bayes Teoremi Hesaplayıcı

1/250 gibi kesirler ve % işaretli değerler de çalışır.

Bayes Teoremi Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır

1. 1. Neyi bildiğinizi seçin. Genellikle önsel olasılık P(A), A doğruyken kanıtın olasılığı P(B|A) ve A yanlışken kanıtın olasılığı P(B|not A)'dır. Bunun yerine genel P(B) değerini biliyorsanız ikinci seçeneğe geçin.
2. 2. Yüzde ya da ondalık seçin. Yüzde modunda %1 için 1, ondalık modunda 0,01 yazın. 1/250 gibi kesirler her ikisinde de çalışır.
3. 3. P(A|B) değerini okuyun. Ardıl olasılık; P(B) ile negatif sonuçtan sonraki olasılıklar P(A|not B) ve P(not A|not B) ile birlikte görünür.
4. 4. Kişi tablosunu inceleyin. Aynı sayılar 1.000, 10.000 veya 100.000 kişiden oluşan sayılar olarak cevabın nereden geldiğini gösterir.

Bayes Teoremi

P(A), önsel olasılıktır: kanıtı görmeden önce A'nın ne kadar olası olduğu. P(B|A), A doğruyken kanıtın olabilirliğidir; P(B|not A) ise A yanlışken olabilirliği. P(B), kanıtın genel olarak ne sıklıkla ortaya çıktığıdır. Sonuç olan P(A|B) ise ardıl olasılıktır: B'yi gördükten sonra A'nın ne kadar olası olduğu. Tanısal bir testte bunlar hastalığın yaygınlığı, duyarlılık, yanlış pozitif oranı (1 − özgüllük) ve pozitif öngörü değeridir.

Klasik Tıbbi Test Örneği

Bir hastalık insanların %1'ini etkiliyor. Bir tarama testi hastalığı %90 oranında yakalıyor (duyarlılık) ama hastalığı olmayan insanların %9'unda da pozitif çıkıyor. Biri teste pozitif çıkıyor. Hastalığa sahip olma olasılığı nedir? Çoğu kişi %90'a yakın bir tahminde bulunur. Bayes teoremi ise şunu söyler: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, dolayısıyla P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = %9,17.

Kişi olarak sayıldığında cevap kolayca görülür: 981 pozitif sonucun yalnızca 90'ı hastalığı olan kişilerden geliyor ve 90 ÷ 981 = %9,17. Test kötü değil — hastalık nadir olduğu için 9.900 sağlıklı kişideki %9 yanlış pozitifler, 100 hasta kişideki gerçek pozitifleri bastırıyor. Psikologlar Gerd Gigerenzer ve Ulrich Hoffrage (1995), sorunları bu tür doğal sıklıklar olarak sunmanın, onları olasılık olarak sunmaya göre insanların çok daha doğru akıl yürütmesini sağladığını gösterdi.

Önselin Neden Bu Kadar Önemli Olduğu

Aynı testi, hastalığın hastaların %10'unda görüldüğü bir yere uygulayın — popülasyon taramasına değil de bir uzman kliniğe — pozitif sonuç %52,63 hastalık olasılığı demektir. Ya da yeniden test edin: ilk pozitif sonuç olasılığı %9,17'ye çıkarıyorsa, bunu yeni önsel olasılık olarak kullanın; aynı doğrulukta bağımsız bir testin ikinci pozitif sonucu olasılığı %50,25'e yükseltir. Tarama programlarının pozitif sonuçları ikinci bir testle doğrulamasının ve aynı kanıtın farklı popülasyonlarda farklı anlamlar taşımasının nedeni budur.

Önseli göz ardı etmek taban oran yanılgısıdır ve yalnızca tıbbi bir sorun değildir. Spam filtreleri, adli deliller, sahtecilik uyarıları ve makine öğrenmesi sınıflandırıcıları hepsi bununla karşılaşır: aradığınız şey nadirse, dedektör iyi olsa bile alarmların çoğu yanlıştır.

Sık sorulan sorular

Bayes teoremi basitçe nedir?

Yeni kanıt elde ettiğinizde bir olasılığı güncellemek için kullanılan bir kuraldır. Önce bir şeyin önceden ne kadar olası olduğuyla (önsel) başlarsınız, kanıtın doğruysa ne kadar daha olası olduğunu yanlışsa olduğuna göre tartarsınız ve güncellenmiş olasılığı (ardıl) elde edersiniz. Formül P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)'dir.

P(A|B) ile P(B|A) arasındaki fark nedir?

İkisi zıt soruların cevabıdır. P(B|A), hastalığınız varken pozitif test sonucu alma olasılığıdır — örnekteki %90 duyarlılık. P(A|B) ise pozitif test sonucu aldığınızda hastalığınızın olma olasılığıdır — örnekte %9,17. İkisini karıştırmak — ters koşullu yanılgısı ya da mahkemede savcı yanılgısı — kanıt üzerine akıl yürütmedeki en yaygın hatalardan biridir.

Bayes teoremi için P(B) nasıl bulunur?

Genellikle toplam olasılık yasasıyla hesaplanır: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|not A) × (1 − P(A)). Bu, buradaki ilk girdi modudur. P(B) değerini örneğin bir anket verisinden zaten biliyorsanız ikinci modu kullanın; hesaplayıcı örtük P(B|not A) değerini çıkarır.

Duyarlılık ve özgüllük nedir?

Duyarlılık, hastalığı olan kişilerin pozitif çıkma oranıdır: P(pozitif|hastalık). Özgüllük ise hastalığı olmayan kişilerin negatif çıkma oranıdır: P(negatif|hastalık yok). Bu hesaplayıcının istediği yanlış pozitif oranı 1 − özgüllüktür; yani %91 özgüllüğe sahip bir testin yanlış pozitif oranı %9'dur.

Taban oran yanılgısı nedir?

Bir şeyin olasılığını, kanıtın ona ne kadar uyduğundan yola çıkıp o şeyin baştan ne kadar yaygın olduğunu göz ardı ederek yargılamaktır. Nadir bir hastalıkta doğru bir testten gelen pozitif sonuç bile çoğunlukla hastalığı olmayan birine aittir; çünkü onlar çok daha fazladır.

Bayes teoremini ikiden fazla sonuçla kullanabilir miyim?

Evet. Birbirini dışlayan A₁, A₂, … gibi birden çok hipotez olduğunda payda, bunların hepsi üzerinden P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) toplamı olur. Bu hesaplayıcı yaygın iki sonuçlu durumu — A ya da A değil — ele alır; tanısal testleri, taramayı ve ders kitabı problemlerinin çoğunu kapsar.