Beklenen Değer Hesaplayıcı
Olası sonuçları olasılıklarıyla — ondalık, yüzde ya da 1/6 gibi kesir olarak — ya da her birinin kaç kez gerçekleştiğiyle listeleyin; beklenen değer E(X), varyans ve standart sapma ile çalışma tablosunu alın. Hesaplayıcı olasılıkların toplamının 1 olup olmadığını denetler ve bir zar oyunu, bir sigorta poliçesi ve bir piyango bileti için hazır örnekler yükler.
0 sonuç okundu. Olasılıklar ondalık (0,25), yüzde (%25) ya da kesir (1/4) olabilir. Ondalık virgül kullanırken değer ile olasılığı noktalı virgülle (;) ayırın: 3; 0,25. Sayıların önündeki sözcükler yok sayılır, bu yüzden satırlara etiket koyabilirsiniz.
Örnek dene
Her satıra bir tane olmak üzere en az iki sonuç girin.
Beklenen Değer Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Olasılık ya da frekans seçin. Kuramsal bir dağılım için olasılıkları, sayılarınız varsa frekansları kullanın; hesaplayıcı frekansları toplamlarına böler.
- 2. Her satıra bir sonuç girin. Önce değeri, sonra olasılığı ya da frekansı yazın:
3, 1/6. Sayıların önündeki sözcükler yok sayılır; bu yüzden bir satırKazanç: altı gelirse, 3, 1/6gibi görünebilir. Olasılıkta ondalık virgül (0,25) kullanıyorsanız değeri ile olasılığı noktalı virgülle (;) ayırın: 3; 0,25. - 3. E(X), varyansı ve SS'yi okuyun. Olasılıkların toplamı 1 değilse hesaplayıcı bunu belirtir ve yanıltıcı bir sonuç vermez; 0,01'den az farkla 1'e yakın bir toplam yuvarlama sayılır.
- 4. Tabloyu izleyin. Her satır x × P(x) ve (x − μ)² × P(x) değerlerini gösterir; sütun toplamları beklenen değeri ve varyansı verir.
Beklenen Değer, Varyans ve Standart Sapma
Beklenen değer
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Varyans
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Standart sapma
SS(X) = √Var(X)
Beklenen değer her sonucu olasılığıyla tartar. Anlamlı olması için her olasılık 0 ile 1 arasında olmalı ve olasılıkların toplamı tam olarak 1 olmalıdır: her olası sonuç bir kez listelenmiş olur. Varyans, sonuçların beklenen değerden tipik olarak ne kadar uzaklaştığını ölçer; bu yüzden bir risk ölçüsüdür: iki bahis aynı E(X) değerine sahip olup çok farklı yayılımlar gösterebilir.
Frekanslarla her sayı toplama bölünerek ampirik bir olasılık elde edilir. 20 ailenin 0, 1, 2 ya da 3 çocuğu olduğunu ve sayıların sırasıyla 4, 9, 5 ve 2 olduğunu varsayalım: olasılıklar 0,2; 0,45; 0,25 ve 0,1'dir; E(X) = 1,25 çocuk ve SS 0,8874'tür. Bu, beklenen değerin gerçekte yaşanabilecek bir değer olmak zorunda olmadığını hatırlatır.
Üç Çalışılmış Örnek
| Örnek | Sonuçlar | E(X) | SS(X) |
|---|---|---|---|
| Zar oyunu | 3 $ kazanın, olasılık 1/6; 1 $ kaybedin, olasılık 5/6 | −0,33 $ | 1,49 $ |
| Sigorta, sigortacının bakışı | 200 $'lık primi 0,998 olasılıkla tutun; 0,002 olasılıkla net 49.800 $ ödeyin | +100 $ | 2.233,83 $ |
| Piyango bileti | Net 499 $ kazanın, olasılık 0,001; 1 $'lık bahsi kaybedin, olasılık 0,999 | −0,50 $ | 15,80 $ |
Zar oyunu. Zarı atmak için 1 $ ödersiniz ve altı gelirse 4 $ kazanırsınız; net kazanç 3 $'dır. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, yani oyun başına ortalama 33 sent kaybedersiniz. 600 kez oynarsanız yaklaşık 200 $ eksiyle çıkmanız beklenir.
Sigorta poliçesi. Bir sigortacı, olasılığı %0,2 olan 50.000 $'lık bir ödeme için yıllık 200 $ prim alır. Sigortacının poliçe başına beklenen kârı 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = 100 $'dır; yani müşteri için beklenen değer −100 $'dır. Yine de satın almak mantıklı olabilir: müşteri küçük ve kesin bir kaybı, büyük bir kayba karşı koruma ile değiştirir; 2.233,83 $'lık SS ise devredilen risktir.
Piyango bileti. 1 $'lık üç rakamlı bir bilet, üç rakamınız çıkarsa 500 $ kazandırır; bu 1.000'de 1 şansıdır. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: ortalama olarak, yatırılan her doların yarısı kaybedilir.
Sık sorulan sorular
- Beklenen değer nasıl hesaplanır?
- Her olası sonucu olasılığıyla çarpın ve çarpımları toplayın: E(X) = Σ x × P(x). Adil bir altı yüzlü zar için E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Yukarıdaki çalışma tablosu kendi dağılımınız için her çarpımı gösterir.
- Beklenen değer negatif olabilir mi?
- Evet. Negatif bir beklenen değer, çok sayıda tekrarda ortalama olarak kaybettiğiniz anlamına gelir; bu, operatörün bir avantaj koyduğu kumar oyunları ve piyangolarda tipiktir. İşaret, sonuçları nasıl tanımladığınıza bağlıdır: sigortacının +100 $'ı müşterinin −100 $'ıdır.
- Beklenen değer ile ortalama arasındaki fark nedir?
- Beklenen değer bir olasılık dağılımının ortalamasıdır: sonsuz sayıda denemeden alacağınız uzun vadeli ortalama. Örneklem ortalaması ise gerçekten gözlediğiniz verilerin ortalamasıdır. Büyük sayılar yasasına göre, bağımsız denemelerin örneklem ortalaması beklenen değere giderek yaklaşır.
- Olasılıkların toplamı 1 olmak zorunda mı?
- Evet. Geçerli bir olasılık dağılımı her olası sonucu tam bir kez listeler, bu yüzden olasılıklar 1'e toplanmalıdır. Toplam 1 değilse ya bir sonuç eksiktir, ya biri iki kez sayılmıştır ya da sayılar aslında frekanstır; bu durumda frekanslara geçin, hesaplayıcı onları dönüştürür.
- Bir olasılık dağılımının varyansı nasıl bulunur?
- Her sonucun beklenen değerden uzaklığının karesini alın, olasılıkla çarpın ve toplayın: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Bir kısayol da aynı sonucu verir: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². Standart sapma, varyansın karekökü olup sonuçlarla aynı birimdedir.
- Beklenen değer negatifken insanlar neden piyango alır?
- Beklenen değer uzun vadeli ortalamayı anlatır; insanlar kararlarını yalnızca ortalamalara göre vermez. Piyango, küçük bir bedel karşılığında hayatı değiştirebilecek bir tutar için küçük bir şans sunar; sigorta ise öngörülebilir bir maliyet karşılığında yıkıcı bir kaybı ortadan kaldırır. Karar teorisi bunu faydayla açıklar: sonuçları yüzeydeki değerleriyle değil, getirdikleriyle değerlendirir.