Калькулятор математического ожидания
Перечислите возможные исходы с их вероятностями — десятичными дробями, процентами или дробями вида 1/6 — или с тем, сколько раз каждый из них наступил, и получите математическое ожидание E(X), дисперсию и стандартное отклонение вместе с рабочей таблицей. Калькулятор проверяет, что вероятности в сумме дают 1, и загружает разобранные примеры: игра в кости, страховой полис и лотерейный билет.
Прочитано 0 исходов. Вероятности можно вводить десятичными дробями (0,25), процентами (25%) или дробями (1/4). Слова перед числами пропускаются, поэтому строку можно подписать.
Попробовать пример
Введите не меньше двух исходов, по одному в строке.
Как пользоваться калькулятором математического ожидания
- 1. Выберите вероятности или частоты. Используйте вероятности для теоретического распределения, а частоты — когда у вас есть количества: калькулятор разделит их на общую сумму.
- 2. Введите по одному исходу в строке. Сначала значение, затем его вероятность или частота, через точку с запятой:
3; 1/6. Слова перед числами пропускаются, поэтому строка может выглядеть так:Выигрыш: выпала шестёрка; 3; 1/6. Точка с запятой позволяет писать в числах десятичную запятую, например 0,25. - 3. Прочитайте E(X), дисперсию и SD. Если вероятности не дают в сумме 1, калькулятор сообщит об этом, а не выдаст вводящий в заблуждение ответ; сумма, отличающаяся от 1 не более чем на 0,01, принимается как округление.
- 4. Следуйте за таблицей. В каждой строке показаны x × P(x) и (x − μ)² × P(x); итоги по столбцам — это математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
Математическое ожидание
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Дисперсия
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Стандартное отклонение
SD(X) = √Var(X)
Математическое ожидание взвешивает каждый исход по тому, насколько он вероятен. Чтобы оно имело смысл, каждая вероятность должна лежать между 0 и 1, а все вместе они должны в сумме давать ровно 1 — каждый возможный исход указан один раз. Дисперсия показывает, насколько исходы обычно отклоняются от математического ожидания, поэтому это мера риска: две ставки могут иметь одинаковое E(X) и очень разный разброс.
При частотах каждое количество делится на общий итог, и получается эмпирическая вероятность. Если 20 семей имеют 0, 1, 2 или 3 ребёнка, а количества равны 4, 9, 5 и 2, вероятности составляют 0,2; 0,45; 0,25 и 0,1, E(X) = 1,25 ребёнка, а SD = 0,8874 — напоминание о том, что математическое ожидание не обязано быть значением, которое может реально наступить.
Три разобранных примера
| Пример | Исходы | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Игра в кости | Выигрыш 3 $ с вероятностью 1/6; проигрыш 1 $ с вероятностью 5/6 | −0,33 $ | 1,49 $ |
| Страхование, взгляд страховщика | Сохранить премию 200 $ с вероятностью 0,998; выплатить 49 800 $ нетто с вероятностью 0,002 | +100 $ | 2 233,83 $ |
| Лотерейный билет | Выигрыш 499 $ нетто с вероятностью 0,001; проигрыш ставки 1 $ с вероятностью 0,999 | −0,50 $ | 15,80 $ |
Игра в кости. Вы платите 1 $, чтобы бросить кость, и выигрываете 4 $ на шестёрке — чистый выигрыш 3 $. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, то есть в среднем вы теряете около 33 центов за игру. Сыграв 600 раз, вы ожидаете проиграть около 200 $.
Страховой полис. Страховщик берёт 200 $ в год за полис, который выплачивает 50 000 $ с вероятностью 0,2%. Его ожидаемая прибыль составляет 200 × 0,998 + (−49 800) × 0,002 = 100 $ на полис, поэтому для клиента математическое ожидание равно −100 $. Покупка всё же может быть разумной: клиент обменивает небольшой, но гарантированный убыток на защиту от большого, а SD в 2 233,83 $ — это и есть риск, который он передаёт страховщику.
Лотерейный билет. Билет «пик-три» стоимостью 1 $ выигрывает 500 $, если совпадают ваши три цифры — шанс 1 к 1 000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: в среднем половина каждого доллара, поставленного на билет, теряется.
Часто задаваемые вопросы
- Как посчитать математическое ожидание?
- Умножьте каждый возможный исход на его вероятность и сложите произведения: E(X) = Σ x × P(x). Для честной шестигранной кости E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Рабочая таблица выше показывает каждое произведение для вашего распределения.
- Может ли математическое ожидание быть отрицательным?
- Да. Отрицательное математическое ожидание означает, что при многократных повторениях в среднем вы проигрываете — так бывает в казино и лотереях, где оператор закладывает собственное преимущество. Знак зависит от того, как вы определили исходы: +100 $ страховщика — это −100 $ клиента.
- Чем математическое ожидание отличается от среднего?
- Математическое ожидание — это среднее распределения вероятностей, то есть долгосрочное среднее, которое вы получили бы после бесконечного числа испытаний. Выборочное среднее — это среднее данных, которые вы действительно наблюдали. По закону больших чисел выборочное среднее многих независимых испытаний всё ближе подходит к математическому ожиданию.
- Обязаны ли вероятности давать в сумме 1?
- Да. Корректное распределение вероятностей перечисляет каждый возможный исход ровно один раз, поэтому вероятности должны давать в сумме 1. Если это не так, какой-то исход пропущен, один посчитан дважды или числа на самом деле являются количествами — тогда переключитесь на частоты, и калькулятор сам их пересчитает.
- Как найти дисперсию распределения вероятностей?
- Возведите в квадрат отклонение каждого исхода от математического ожидания, умножьте на его вероятность и сложите: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Есть и сокращение, которое даёт тот же результат: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии, в тех же единицах, что и исходы.
- Зачем покупать лотерейные билеты, если математическое ожидание отрицательно?
- Математическое ожидание описывает долгосрочное среднее, а люди решают не только по средним. Лотерея даёт небольшой шанс на крупную сумму, которая меняет жизнь, за ничтожную ставку, а страховка устраняет разорительный убыток за предсказуемую цену. Теория решений учитывает это через полезность — оценку исходов по их последствиям, а не по номиналу.