Verwachtingswaardecalculator
Vul de mogelijke uitkomsten met hun kansen in — decimalen, percentages of breuken zoals 1/6 — of met hoe vaak elke uitkomst voorkwam, en krijg de verwachtingswaarde E(X), de variantie en de standaardafwijking, met een rekentabel. De calculator controleert of je kansen optellen tot 1 en laadt uitgewerkte voorbeelden voor een dobbelspel, een verzekeringspolis en een loterijlot. Gratis, zonder registratie.
0 uitkomsten ingelezen. Kansen mogen decimalen (0,25), percentages (25%) of breuken (1/4) zijn. Woorden vóór de getallen worden genegeerd, dus je kunt elke regel labelen. Staat er een puntkomma in de regel, dan is de komma een decimaalteken: 3; 0,25.
Probeer een voorbeeld
Vul minstens twee uitkomsten in, één per regel.
Zo gebruik je de verwachtingswaardecalculator
- 1. Kies kansen of frequenties. Gebruik kansen voor een theoretische verdeling, en frequenties als je tellingen hebt — de calculator deelt ze door hun totaal.
- 2. Vul één uitkomst per regel in. Eerst de waarde, dan de kans of frequentie:
3, 1/6. Woorden voor de getallen worden genegeerd, dus een regel mag zijnWinst: een zes gooien, 3, 1/6. Staat er een puntkomma in de regel, dan is de komma een decimaalteken: 3; 0,25. - 3. Lees E(X), de variantie en de SD af. Tellen de kansen niet op tot 1, dan zegt de calculator dat, in plaats van een misleidend antwoord te geven. Een som binnen 0,01 van 1 wordt als afronding geaccepteerd.
- 4. Volg de tabel. Elke rij toont x × P(x) en (x − μ)² × P(x); de totalen van de kolommen zijn de verwachtingswaarde en de variantie.
Verwachtingswaarde, variantie en standaardafwijking
Verwachtingswaarde
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Variantie
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Standaardafwijking
SD(X) = √Var(X)
De verwachtingswaarde weegt elke uitkomst naar hoe waarschijnlijk die is. Om zinvol te zijn moet elke kans tussen 0 en 1 liggen en moeten ze samen precies 1 zijn — elke mogelijke uitkomst één keer genoemd. De variantie meet hoe ver uitkomsten gemiddeld van de verwachtingswaarde af liggen, dus het is een maat voor risico: twee weddenschappen kunnen dezelfde E(X) hebben en een heel verschillende spreiding.
Met frequenties wordt elke telling door het totaal gedeeld om een empirische kans te krijgen. Als 20 gezinnen 0, 1, 2 of 3 kinderen hebben, met tellingen 4, 9, 5 en 2, dan zijn de kansen 0,2; 0,45; 0,25 en 0,1, en is E(X) = 1,25 kinderen, met een SD van 0,8874 — een herinnering dat de verwachtingswaarde niet een waarde hoeft te zijn die daadwerkelijk kan voorkomen.
Drie uitgewerkte voorbeelden
| Voorbeeld | Uitkomsten | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Dobbelspel | Win €3 met kans 1/6; verlies €1 met kans 5/6 | −€0,33 | €1,49 |
| Verzekering, gezien vanuit de verzekeraar | Houd een premie van €200 over met kans 0,998; betaal €49.800 netto uit met kans 0,002 | +€100 | €2.233,83 |
| Loterijlot | Win €499 netto met kans 0,001; verlies de inzet van €1 met kans 0,999 | −€0,50 | €15,80 |
Het dobbelspel. Je betaalt €1 om een dobbelsteen te gooien en wint €4 bij een zes, een netto winst van €3. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, dus je verliest gemiddeld ongeveer 33 cent per spel. Speel je 600 keer, dan kun je verwachten ongeveer €200 achter te staan.
De verzekeringspolis. Een verzekeraar vraagt €200 per jaar voor een polis die €50.000 uitkeert met een kans van 0,2%. De verwachte winst van de verzekeraar is 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = €100 per polis — voor de klant is de verwachtingswaarde dus −€100. Kopen kan toch rationeel zijn: de klant ruilt een klein, zeker verlies in voor bescherming tegen een groot verlies, en de SD van €2.233,83 is het risico dat wordt overgedragen.
Het loterijlot. Een lot van €1 waarbij je drie cijfers kiest, wint €500 als je drie cijfers uitkomen — een kans van 1 op 1.000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: gemiddeld gaat de helft van elke euro die je inzet verloren.
Veelgestelde vragen
- Hoe bereken je de verwachtingswaarde?
- Vermenigvuldig elke mogelijke uitkomst met zijn kans en tel de producten op: E(X) = Σ x × P(x). Voor een eerlijke zeszijdige dobbelsteen is E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. De rekentabel hierboven toont elk product voor jouw eigen verdeling.
- Kan de verwachtingswaarde negatief zijn?
- Ja. Een negatieve verwachtingswaarde betekent dat je op de lange termijn gemiddeld verliest, typisch bij casinospellen en loterijen, waar de aanbieder een voordeel inbouwt. Het teken hangt af van hoe je de uitkomsten definieert: de +€100 van de verzekeraar is de −€100 van de klant.
- Wat is het verschil tussen de verwachtingswaarde en het gemiddelde?
- De verwachtingswaarde is het gemiddelde van een kansverdeling — het langetermijngemiddelde dat je krijgt bij oneindig veel pogingen. Het steekproefgemiddelde is het gemiddelde van de gegevens die je daadwerkelijk hebt waargenomen. Volgens de wet van de grote aantallen komt het steekproefgemiddelde van veel onafhankelijke pogingen steeds dichter bij de verwachtingswaarde.
- Moeten de kansen optellen tot 1?
- Ja. Een geldige kansverdeling somt elke mogelijke uitkomst precies één keer op, dus de kansen moeten optellen tot 1. Als dat bij jou niet klopt, ontbreekt er een uitkomst, is er een dubbel geteld, of zijn de getallen eigenlijk tellingen — schakel dan over op frequenties en de calculator rekent ze om.
- Hoe vind je de variantie van een kansverdeling?
- Kwadrateer de afstand van elke uitkomst tot de verwachtingswaarde, vermenigvuldig met de kans en tel op: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Een kortere weg geeft hetzelfde antwoord: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². De standaardafwijking is de wortel uit de variantie, in dezelfde eenheden als de uitkomsten.
- Waarom kopen mensen loterijlotten als de verwachtingswaarde negatief is?
- De verwachtingswaarde beschrijft het langetermijngemiddelde, en mensen beslissen niet alleen op basis van gemiddelden. Een loterij biedt een kleine kans op een levensveranderend bedrag voor een kleine inzet, en verzekering haalt een ruïnerend verlies weg voor een voorspelbare prijs. De beslissingstheorie vangt dit op met nut: uitkomsten waarderen naar hun gevolgen in plaats van naar hun nominale waarde.