Kalkulator Nilai Harapan
Daftar hasil yang mungkin beserta probabilitasnya — desimal, persen, atau pecahan seperti 1/6 — atau berapa kali masing-masing terjadi, lalu dapatkan nilai harapan E(X), varians dan simpangan baku, dengan tabel perhitungan. Kalkulator memeriksa bahwa probabilitas Anda berjumlah 1 dan memuat contoh kasus untuk permainan dadu, polis asuransi dan tiket lotere.
0 hasil dibaca. Probabilitas dapat berupa desimal (0,25), persen (25%) atau pecahan (1/4). Jika memakai koma desimal, pisahkan kolom dengan titik koma (3; 0,25). Kata di depan angka diabaikan, jadi Anda dapat memberi label pada setiap baris.
Coba contoh
Masukkan minimal dua hasil, satu per baris.
Cara Menggunakan Kalkulator Nilai Harapan
- 1. Pilih probabilitas atau frekuensi. Gunakan probabilitas untuk distribusi teoretis, dan frekuensi bila Anda memiliki jumlah kejadian — kalkulator membaginya dengan totalnya.
- 2. Masukkan satu hasil per baris. Nilainya lebih dulu, lalu probabilitas atau frekuensinya:
3, 1/6. Kata di depan angka diabaikan, sehingga satu baris dapat berbunyiMenang: dadu bernilai enam, 3, 1/6. - 3. Baca E(X), varians dan SD. Jika probabilitas tidak berjumlah 1, kalkulator memberi tahu Anda alih-alih menghasilkan jawaban yang menyesatkan; jumlah yang berada dalam selisih 0,01 dari 1 diterima sebagai pembulatan.
- 4. Ikuti tabelnya. Setiap baris menampilkan x × P(x) dan (x − μ)² × P(x); jumlah kolomnya adalah nilai harapan dan varians.
Nilai Harapan, Varians dan Simpangan Baku
Nilai harapan
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Varians
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Simpangan baku
SD(X) = √Var(X)
Nilai harapan memberi bobot pada setiap hasil sesuai seberapa besar kemungkinannya. Agar masuk akal, setiap probabilitas harus berada antara 0 dan 1, dan semuanya harus berjumlah tepat 1 — setiap hasil yang mungkin tercantum sekali. Varians mengukur seberapa jauh hasil biasanya menyimpang dari nilai harapan, sehingga ia merupakan ukuran risiko: dua taruhan dapat memiliki E(X) yang sama dengan sebaran yang sangat berbeda.
Dengan frekuensi, setiap jumlah dibagi dengan totalnya untuk menghasilkan probabilitas empiris. Jika 20 keluarga memiliki 0, 1, 2 atau 3 anak dengan jumlah 4, 9, 5 dan 2, probabilitasnya adalah 0,2; 0,45; 0,25 dan 0,1, dan E(X) = 1,25 anak, dengan SD 0,8874 — pengingat bahwa nilai harapan tidak harus berupa nilai yang benar-benar bisa terjadi.
Tiga Contoh Kasus
| Contoh | Hasil | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Permainan dadu | Menang $3 dengan probabilitas 1/6; kalah $1 dengan probabilitas 5/6 | −$0,33 | $1,49 |
| Asuransi, dari sudut pandang perusahaan | Mempertahankan premi $200 dengan probabilitas 0,998; membayar $49.800 bersih dengan probabilitas 0,002 | +$100 | $2.233,83 |
| Tiket lotere | Menang $499 bersih dengan probabilitas 0,001; kalah taruhan $1 dengan probabilitas 0,999 | −$0,50 | $15,80 |
Permainan dadu. Anda membayar $1 untuk melempar dadu dan menang $4 jika mendapat enam, keuntungan bersih $3. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, sehingga Anda rata-rata kalah sekitar 33 sen per permainan. Mainkan 600 kali dan Anda seharusnya mengharapkan kerugian sekitar $200.
Polis asuransi. Perusahaan asuransi memungut $200 setahun untuk polis yang membayar $50.000 dengan probabilitas 0,2%. Laba harapannya adalah 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = $100 per polis — sehingga bagi pelanggan, nilai harapannya adalah −$100. Membeli tetap bisa rasional: pelanggan menukar kerugian kecil yang pasti dengan perlindungan dari kerugian besar, dan SD sebesar $2.233,83 adalah risiko yang dialihkan.
Tiket lotere. Tiket pilih-tiga seharga $1 memenangkan $500 jika ketiga digit Anda keluar — peluang 1 dari 1.000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: rata-rata, setengah dari setiap dolar yang dipertaruhkan hilang.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara menghitung nilai harapan?
- Kalikan setiap hasil yang mungkin dengan probabilitasnya, lalu jumlahkan hasil kalinya: E(X) = Σ x × P(x). Untuk dadu enam sisi yang adil, E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Tabel perhitungan di atas menampilkan setiap hasil kali untuk distribusi Anda sendiri.
- Bisakah nilai harapan bernilai negatif?
- Bisa. Nilai harapan negatif berarti bahwa, rata-rata dalam banyak pengulangan, Anda rugi — lazim pada permainan kasino dan lotere, tempat operator memasukkan keunggulan. Tandanya bergantung pada cara Anda mendefinisikan hasil: +$100 bagi perusahaan asuransi berarti −$100 bagi pelanggan.
- Apa perbedaan antara nilai harapan dan rata-rata?
- Nilai harapan adalah rata-rata dari sebuah distribusi probabilitas — rata-rata jangka panjang yang Anda peroleh dari tak terhingga percobaan. Rata-rata sampel adalah rata-rata data yang benar-benar Anda amati. Menurut hukum bilangan besar, rata-rata sampel dari banyak percobaan independen akan semakin dekat dengan nilai harapan.
- Apakah probabilitas harus berjumlah 1?
- Ya. Distribusi probabilitas yang sah mendaftar setiap hasil yang mungkin tepat sekali, sehingga probabilitasnya harus berjumlah 1. Jika tidak, ada hasil yang terlewat, ada yang terhitung dua kali, atau angkanya sebenarnya adalah jumlah kejadian — dalam hal itu, beralihlah ke frekuensi dan kalkulator akan mengonversinya.
- Bagaimana cara mencari varians sebuah distribusi probabilitas?
- Kuadratkan jarak setiap hasil dari nilai harapan, kalikan dengan probabilitasnya, lalu jumlahkan: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Ada jalan pintas yang memberi jawaban yang sama: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians, dalam satuan yang sama dengan hasilnya.
- Mengapa orang membeli tiket lotere jika nilai harapannya negatif?
- Nilai harapan menggambarkan rata-rata jangka panjang, dan orang tidak memutuskan berdasarkan rata-rata saja. Lotere menawarkan peluang kecil untuk mendapatkan jumlah yang mengubah hidup dengan taruhan yang sepele, dan asuransi menghilangkan kerugian besar dengan biaya yang dapat diprediksi. Teori keputusan menangkapnya dengan utilitas — menilai hasil berdasarkan konsekuensinya, bukan nilai nominalnya.