Erwartungswertrechner
Listen Sie die möglichen Ausgänge mit ihren Wahrscheinlichkeiten auf — als Dezimalzahlen, Prozentangaben oder Brüche wie 1/6 — oder mit der Häufigkeit, mit der sie auftraten, und erhalten Sie den Erwartungswert E(X), die Varianz und die Standardabweichung mit einer Arbeitstabelle. Der Rechner prüft, ob sich Ihre Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren, und lädt durchgerechnete Beispiele für ein Würfelspiel, eine Versicherungspolice und ein Lotterielos.
0 Ausgänge gelesen. Wahrscheinlichkeiten können Dezimalzahlen (0,25), Prozentangaben (25 %) oder Brüche (1/4) sein. Wörter vor den Zahlen werden ignoriert, damit Sie jede Zeile beschriften können. Trennen Sie Wert und Wahrscheinlichkeit mit einem Semikolon, damit das Komma als Dezimalzeichen gelesen wird.
Beispiel ausprobieren
Geben Sie mindestens zwei Ausgänge ein, einen pro Zeile.
So verwenden Sie den Erwartungswertrechner
- 1. Wählen Sie Wahrscheinlichkeiten oder Häufigkeiten. Verwenden Sie Wahrscheinlichkeiten für eine theoretische Verteilung und Häufigkeiten, wenn Sie Zählwerte haben — der Rechner teilt sie durch ihre Summe.
- 2. Geben Sie einen Ausgang pro Zeile ein. Zuerst der Wert, dann seine Wahrscheinlichkeit oder Häufigkeit:
3; 1/6. Wörter vor den Zahlen werden ignoriert, sodass eine Zeile etwa so lauten kann:Gewinn: eine Sechs; 3; 1/6. Trennen Sie Wert und Wahrscheinlichkeit mit einem Semikolon, damit ein Komma als Dezimalzeichen gelesen wird (0,25). - 3. Lesen Sie E(X), die Varianz und die SD ab. Addieren sich die Wahrscheinlichkeiten nicht zu 1, sagt der Rechner das, statt ein irreführendes Ergebnis zu liefern; eine Summe innerhalb von 0,01 um 1 wird als Rundung akzeptiert.
- 4. Folgen Sie der Tabelle. Jede Zeile zeigt x × P(x) und (x − μ)² × P(x); ihre Spaltensummen sind der Erwartungswert und die Varianz.
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Erwartungswert
E(X) = μ = Σ x × P(x)
Varianz
Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x) = Σ x² × P(x) − μ²
Standardabweichung
SD(X) = √Var(X)
Der Erwartungswert gewichtet jeden Ausgang danach, wie wahrscheinlich er ist. Damit das sinnvoll ist, muss jede Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen, und zusammen müssen sie genau 1 ergeben — jeder mögliche Ausgang ist genau einmal aufgeführt. Die Varianz misst, wie weit die Ausgänge typischerweise vom Erwartungswert entfernt liegen, und ist damit ein Maß für das Risiko: Zwei Wetten können denselben Erwartungswert und sehr unterschiedliche Streuungen haben.
Bei Häufigkeiten wird jede Anzahl durch die Gesamtsumme geteilt, um eine empirische Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Wenn 20 Familien 0, 1, 2 oder 3 Kinder haben, mit den Anzahlen 4, 9, 5 und 2, sind die Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,45; 0,25 und 0,1, und E(X) = 1,25 Kinder, mit einer SD von 0,8874 — eine Erinnerung daran, dass der Erwartungswert kein Wert sein muss, der tatsächlich vorkommen kann.
Drei Beispiele
| Beispiel | Ausgänge | E(X) | SD(X) |
|---|---|---|---|
| Würfelspiel | 3 $ Gewinn mit Wahrscheinlichkeit 1/6; 1 $ Verlust mit Wahrscheinlichkeit 5/6 | −0,33 $ | 1,49 $ |
| Versicherung, Sicht des Versicherers | Behält eine Prämie von 200 $ mit Wahrscheinlichkeit 0,998; zahlt 49.800 $ netto aus mit Wahrscheinlichkeit 0,002 | +100 $ | 2.233,83 $ |
| Lotterielos | Gewinnt 499 $ netto mit Wahrscheinlichkeit 0,001; verliert den Einsatz von 1 $ mit Wahrscheinlichkeit 0,999 | −0,50 $ | 15,80 $ |
Das Würfelspiel. Sie zahlen 1 $, um einen Würfel zu werfen, und gewinnen 4 $ bei einer Sechs, also einen Nettogewinn von 3 $. E(X) = 3 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/3, Sie verlieren also im Durchschnitt etwa 33 Cent pro Spiel. Spielen Sie 600-mal, sollten Sie mit einem Minus von etwa 200 $ rechnen.
Die Versicherungspolice. Ein Versicherer verlangt 200 $ im Jahr für eine Police, die mit Wahrscheinlichkeit 0,2 % 50.000 $ zahlt. Sein erwarteter Gewinn ist 200 × 0,998 + (−49.800) × 0,002 = 100 $ pro Police — für den Kunden ist der Erwartungswert also −100 $. Der Kauf kann dennoch vernünftig sein: Der Kunde tauscht einen kleinen, sicheren Verlust gegen Schutz vor einem großen, und die SD von 2.233,83 $ ist das Risiko, das er abgibt.
Das Lotterielos. Ein Dreier-Los für 1 $ gewinnt 500 $, wenn Ihre drei Ziffern kommen — eine Chance von 1 zu 1.000. E(X) = 499 × 0,001 + (−1) × 0,999 = −0,50: Im Durchschnitt geht die Hälfte jedes eingesetzten Dollars verloren.
Häufig gestellte Fragen
- Wie berechnet man den Erwartungswert?
- Multiplizieren Sie jeden möglichen Ausgang mit seiner Wahrscheinlichkeit und addieren Sie die Produkte: E(X) = Σ x × P(x). Für einen fairen sechsseitigen Würfel gilt E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Die Arbeitstabelle oben zeigt jedes Produkt für Ihre eigene Verteilung.
- Kann der Erwartungswert negativ sein?
- Ja. Ein negativer Erwartungswert bedeutet, dass Sie im Durchschnitt über viele Wiederholungen verlieren — typisch für Glücksspiele und Lotterien, bei denen der Veranstalter einen Vorteil einbaut. Das Vorzeichen hängt davon ab, wie Sie die Ausgänge definieren: Der +100 $ des Versicherers sind −100 $ für den Kunden.
- Worin unterscheidet sich der Erwartungswert vom Mittelwert?
- Der Erwartungswert ist der Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung — der langfristige Durchschnitt aus unendlich vielen Versuchen. Der Stichprobenmittelwert ist der Durchschnitt der tatsächlich beobachteten Daten. Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich der Stichprobenmittelwert vieler unabhängiger Versuche dem Erwartungswert immer weiter an.
- Müssen sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren?
- Ja. Eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden möglichen Ausgang genau einmal auf, also müssen sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren. Tun sie es nicht, fehlt ein Ausgang, einer ist doppelt gezählt, oder die Zahlen sind in Wahrheit Anzahlen — wechseln Sie dann zu Häufigkeiten, und der Rechner rechnet sie um.
- Wie findet man die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?
- Quadrieren Sie den Abstand jedes Ausgangs vom Erwartungswert, multiplizieren Sie mit seiner Wahrscheinlichkeit und addieren Sie: Var(X) = Σ (x − μ)² × P(x). Eine Abkürzung liefert dasselbe Ergebnis: Var(X) = Σ x² × P(x) − μ². Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz, in denselben Einheiten wie die Ausgänge.
- Warum kauft man Lotterielose, wenn der Erwartungswert negativ ist?
- Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen Durchschnitt, und Menschen entscheiden nicht allein nach Durchschnitten. Eine Lotterie bietet eine kleine Chance auf eine lebensverändernde Summe für einen geringen Einsatz, und eine Versicherung beseitigt einen ruinösen Verlust zu einem berechenbaren Preis. Die Entscheidungstheorie fasst das mit dem Nutzen zusammen: Ausgänge werden nach ihren Folgen bewertet, nicht nach ihrem Nennwert.