Binomialtest-Rechner
Geben Sie die Anzahl der Erfolge, die Anzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit ein, gegen die Sie testen möchten. Sie erhalten den exakten Binomial-p-Wert für alle drei Alternativen, das Clopper–Pearson-Konfidenzintervall, zum Vergleich das Wilson-Intervall und Cohens h als Effektstärke. Die Binomialverteilung unter Ihrer Nullhypothese wird tabelliert, damit Sie sehen, welche Ergebnisse den p-Wert bilden. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Ein Wert zwischen 0 und 1, etwa 0,5 oder 0,25.
Geben Sie die Anzahl der Erfolge, die Anzahl der Versuche und p₀ ein.
So verwenden Sie den Binomialtest-Rechner
- 1. Geben Sie die Anzahlen ein. Tragen Sie die Anzahl der Erfolge (k) und die Anzahl der Versuche (n) ein. Ein Erfolg ist das Ergebnis, das Sie zählen – ein Kopf, eine richtige Antwort, eine Person, die zustimmt.
- 2. Geben Sie p₀ ein. Das ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs unter Ihrer Nullhypothese: 0,5 für eine faire Münze, 0,25 für eine Ratewahl mit vier Optionen oder ein veröffentlichter Richtwert.
- 3. Wählen Sie die Alternative und das Konfidenzniveau. Zweiseitig prüft, ob sich die wahre Wahrscheinlichkeit in irgendeiner Richtung von p₀ unterscheidet; die einseitigen Optionen fragen nur nach einer Richtung.
- 4. Lesen Sie das Ergebnis. Der exakte p-Wert, das Konfidenzintervall für die wahre Wahrscheinlichkeit und die Tabelle der Nullverteilung erscheinen unten. Kopieren Sie die APA-Zeile, wenn Sie fertig sind.
So funktioniert der exakte Binomialtest
Wenn jeder Versuch unabhängig ist und mit derselben Wahrscheinlichkeit p₀ gelingt, folgt die Anzahl der Erfolge X einer Binomial(n, p₀)-Verteilung: P(X = j) = C(n, j) p₀j (1 − p₀)n−j. Die einseitigen p-Werte sind einfache Randwahrscheinlichkeiten – P(X ≤ k) für „die Wahrscheinlichkeit ist kleiner als p₀“ und P(X ≥ k) für „größer“. Es gibt keine Näherung, daher gilt der Test für jedes n, auch für sehr kleine Stichproben und für Wahrscheinlichkeiten nahe 0 oder 1, wo ein z-Test mit Normalverteilungsnäherung versagt.
Der zweiseitige p-Wert erfordert Sorgfalt. Die Verdopplung der kleineren Randwahrscheinlichkeit ist nur korrekt, wenn p₀ = 0,5 ist, denn nur dann ist die Verteilung symmetrisch. Dieser Rechner folgt der Regel von binom.test in R und binomtest in SciPy: Addiert wird die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses, das nicht wahrscheinlicher ist als das beobachtete. Die Tabelle markiert diese Ergebnisse, damit Sie genau sehen, was gezählt wurde. Bei einer symmetrischen Nullhypothese entspricht das dem Doppelten der kleineren Randwahrscheinlichkeit.
Das Konfidenzintervall für die wahre Wahrscheinlichkeit ist das Clopper–Pearson-Intervall (exakt), das aus Quantilen der Beta-Verteilung berechnet wird. Es garantiert mindestens die angegebene Überdeckung und ist daher eher breit. Das Wilson-Score-Intervall wird daneben angezeigt, weil es schmaler ist und eine Überdeckung nahe dem Nennwert hat. Bei einer einseitigen Alternative ist das exakte Intervall ebenfalls einseitig, wie in R.
Beispiel: Prüfung eines Richtwerts von 30 %
Klicken Sie auf Beispiel ausprobieren, um eine Umfrage zu laden, in der 61 von 150 Befragten eine Option gewählt haben, die laut einem veröffentlichten Richtwert 30 % der Menschen wählen. Der beobachtete Anteil ist p̂ = 0,407; die erwartete Anzahl unter H₀ ist 45.
Exakter Binomialtest, Schritt für Schritt
X ~ Binomial(150; 0,3); P(X = 61) = 0,001418
Ergebnisse, die nicht wahrscheinlicher sind als 61: 0–29 und 61–150 → zweiseitiger p-Wert = 0,0056
Einseitig: P(X ≥ 61) = 0,0035; P(X ≤ 61) = 0,998
95-%-Clopper–Pearson-KI [0,327; 0,490]; Cohens h = 0,22
Im APA-Stil: Mehr Befragte wählten die Option, als der Richtwert von 30 % nahelegt – 61 von 150 (p̂ = 0,41), exakter Binomialtest gegen p₀ = 0,30: p = 0,006, 95-%-KI [0,33; 0,49]. Das Intervall schließt 0,30 aus, was mit dem Test übereinstimmt, und h = 0,22 ist nach Cohens Faustregel (0,2 klein, 0,5 mittel, 0,8 groß) ein kleiner bis mittlerer Effekt.
Binomialtest oder ein anderer Test?
| Situation | Bessere Wahl |
|---|---|
| Ein Anteil, beliebige Stichprobengröße | Exakter Binomialtest |
| Große Stichprobe, np₀ und n(1 − p₀) jeweils mindestens 10 | Normalverteilungsnäherung (z-Test für einen Anteil), die sehr gut übereinstimmt |
| Zwei unabhängige Anteile | z-Test für zwei Anteile oder Fishers exakter Test bei kleinen Häufigkeiten |
| Gepaarte Ja/Nein-Ergebnisse | McNemar-Test, ein Binomialtest über die diskordanten Paare |
| Häufigkeiten über drei oder mehr Kategorien | Chi-Quadrat-Anpassungstest |
Häufig gestellte Fragen
- Wofür wird der Binomialtest verwendet?
- Er prüft, ob der Anteil der Erfolge in einer Stichprobe mit einer angenommenen Wahrscheinlichkeit vereinbar ist – etwa ob eine Münze fair ist, ob eine Bestehensquote einem Ziel entspricht oder ob der Anteil der Menschen, die eine Option wählen, von einem Richtwert abweicht. Er funktioniert für jede Stichprobengröße, weil er exakte Binomialwahrscheinlichkeiten verwendet.
- Wann verwende ich den Binomialtest statt eines z-Tests?
- Immer dann, wenn die Stichprobe klein ist oder p₀ nahe 0 oder 1 liegt, also wenn np₀ oder n(1 − p₀) unter etwa 10 liegt, weil die Normalverteilungsnäherung des z-Tests dort nicht verlässlich ist. Bei großen Stichproben liefern beide nahezu dasselbe Ergebnis, doch der exakte Test ist nie falsch; es gibt daher wenig Grund, die Näherung vorzuziehen.
- Warum ist der zweiseitige p-Wert nicht einfach das Doppelte des einseitigen?
- Die Verdopplung funktioniert nur, wenn die Nullverteilung symmetrisch ist, und das ist bei p₀ = 0,5 der Fall. Bei jedem anderen p₀ ist die Verteilung schief, und die Ergebnisse auf der gegenüberliegenden Seite, die ebenso unwahrscheinlich sind wie Ihres, sind kein Spiegelbild des eigenen. Das Standardverfahren addiert die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die nicht wahrscheinlicher sind als das beobachtete.
- Wie berichte ich einen Binomialtest im APA-Stil?
- Nennen Sie die Anzahlen und den Test, die angenommene Wahrscheinlichkeit, den exakten p-Wert und das Intervall: 61 von 150 (p̂ = 0,41), exakter Binomialtest gegen p₀ = 0,30: p = 0,006, 95-%-KI [0,33; 0,49]. Setzen Sie p und p̂ kursiv. Die APA-Regel, die führende Null bei Größen wegzulassen, die nicht über 1 liegen können, gilt für Manuskripte auf Englisch; in deutschsprachigen Arbeiten schreiben Sie 0,41 und folgen den Vorgaben Ihrer Hochschule.
- Welches Konfidenzintervall sollte ich angeben?
- Das Clopper–Pearson-Intervall passt zum exakten Test und garantiert mindestens die nominelle Überdeckung, ist aber konservativ. Das Wilson-Intervall ist kürzer, hat eine Überdeckung näher am Nennwert und eignet sich gut zur Angabe eines Anteils. Welches Sie auch wählen, nennen Sie, welches es ist.
- Welche Annahmen macht der Binomialtest?
- Dass jeder Versuch genau zwei Ausgänge hat, dass die Versuche unabhängig sind, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich ist und dass die Anzahl der Versuche von vornherein festgelegt war. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit verletzt die Unabhängigkeit; dann ist die hypergeometrische Verteilung das richtige Modell.